标定基础知识

标定的目的

如果你想使用视觉技术进行定位或测量，你必须知道从图像到现实对象的数学模型，并希望相机拍摄的图像能够准确反映现实对象。然而，现实对象在镜头相机和其他部件成像后不能非常准确地成像。图像会有一些偏差。如何消除这些偏差，这需要知道从现实对象到图像的数学模型，也就是说，需要知道数学模型中的参数导致图像变形，以便进行修正。综上所述，只要你知道相机的成像数学模型，你就可以纠正图像，并将图像与真实物体的关系推回去。这是校准的目的，即获得相机的成像数学模型（事实上，校准相机是为了确定相机的内部参考）。

要想获得数学模型，必须弄清楚相机的成像过程发生了什么变化。在这一变化中，人们定义了四个坐标系：世界坐标系、相机坐标系、图像坐标系和像素坐标系。经过这四个坐标系的变换和镜头的畸变，物体最终投影成图像。所以只要我们得到这四个坐标系之间的转换关系和畸变系数，，就可以得到相机的数学模型。以下是四个坐标系和畸变系数。

四大坐标系

下图显示了四个坐标系，其中点P是世界坐标系中的一个。

世界坐标系：$O_W$、$X_W$、$Y_W$、$Z_W$，单位m。我认为初学者认为自由定义是很奇怪的。自由定义如何表示坐标？如果坐标系不固定，如何获得坐标值？在校准过程中，将校准板的平面定义为$XW$、$Y_W$且设$Z_W=0$，这样坐标值就固定了，但是这里依然很奇怪，世界坐标是随着标定板移动而移动的，虽然标定板上的坐标是确定的，但是虽然标定板的移动，图像上的像素坐标是变化的啊，这些没有基准的值对于求解模型有什么意义？世界坐标到相机坐标的转换即外参对于每张不同的标定图像是不一样的，这个外参不重要，变化不变化没关系，我们只是在构建求解相机模型过程中使用它得出了不变的内参和畸变系数。

相机坐标系：$O_C$、$X_C$、$Y_C$、$Z_C$，单位m。以摄像机光心为原点$O_C$，光轴为$Z_C$，$Z_C$正方向指向相机前方。

图像坐标系：$o$,$x$,$y$，单位mm。本来是在$O_C$的后方$f$(焦距)处，为了方便放到了$O_C$前方f处。

像素坐标系：$u$,$v$，单位是像素，与图像坐标系在同一个平面，只是原点在图像的左上角。

为了解了四大坐标系，下面来介绍坐标系之间的转换。

世界坐标系至相机坐标系

世界坐标系至相机坐标系是一个刚体变换的过程即经过旋转和平移变换。假设空间中的一个点P在世界坐标系中表示为：
$$P_w=\left(\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\end{array}\right)$$
该点P在相机坐标系中的表示为：
$$P_c=\left(\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right)$$
那么想要将该点由世界坐标系变换至相机坐标系的话，需要先将其旋转一定角度再平移一段距离。那么旋转矩阵由$R$表示，平移矩阵由$T$表示，那么变换公式为$P_c=R\ast P_w+T$,其中旋转矩阵$R=\left(\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right)$，平移矩阵$T=\left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right)$，在笛卡尔坐标系下变换公式如下所示：
$$P_c=\left(\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right)P_w+\left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ t_3\end{array}\right)$$
如果使用齐次坐标，则可以将旋转和平移两个矩阵合并为一个矩阵，如下所示：
( X c Y c Z c 1 ) = ( r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t 3 0 0 0 1 ) ( X w Y