MIT公开课18.06 Gilbert Strang 线性代数笔记1 - Ax=b和四个子空间

时间：2023-11-09 05:37:01 电阻3hab2916

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- 课程链接
- 参考笔记链接
- 问题
第一讲：方程组的集合解释
- 1. 从方程组到矩阵
- 2. $A x = b$ 解法1：row picture 行图像
- 3. $A x = b$ 解法2：column pircture 列图像
- - 数形结合：
  - - 数：
    - 形：
- 4.问题：任意b，都能解决吗？ $A x = b$ ？从列向量线性组合的角度来看，在列三维情况下，向量线性组合能否覆盖整个三维向量空间？
- 5. 矩阵乘法
- - 5.1 向量内积
  - 5.2 线性组合列向量
二是矩阵消元
- 1.高斯消元法
- - 1.1消元步骤
  - 1.2 消元失效
- 2.从新的角度看矩阵乘法
- - 旧角度
  - 新角度
  - - 从列向量的角度
    - 从行向量角度
- 3.从矩阵运算的角度描述高斯消元
- 4. 置换矩阵
- 5.矩阵的逆
第三，乘法和逆矩阵
- 1.矩阵乘法
- - 1.1 一般性法则
  - 1.2 整列相乘
  - 1.3 整行相乘
  - 1.4 列乘以行
  - 1.5 分块乘法
- 2.逆(方阵)
- - 2.1证明不可逆
  - 2.2.如果矩阵逆转，求逆法(高斯·若尔丹Gauss-Jordan法）
第4讲： $A$ 的 $L U$ 分解
- 逆和转位矩阵
- $L U$ 分解
- 将一个 $n$ 阶方阵 $A$ 变换为 $U$ 需要的计算量估计：
- 置换矩阵(Permutation Matrix)：
第5讲：转置-置换-向量空间 $R$
- 置换矩阵（Permutation Matrix）
- 转置矩阵（Transpose Matrix）
- 对称矩阵（Symmetric Matrix）
- 向量空间（Vector Space）
- - 向量子空间
- 列空间
第6讲：列空间和零空间
- 列空间
- 零空间
第7讲：求解 $A x = 0$ 主变量特解
- 行阶梯矩阵
- 简化行阶梯矩阵
第8讲：求解 $A x = b$ 可解性和解的结构
- $b$ 是什么时， $A x = b$ 有解？
- 求解 $A x = b$ 算法
- 对秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的解讨论
第9讲：线性相关性、基、维数
- 线性相关性
- 基
- 维数
第10讲：四个基本子空间
- 列空间（ $C (A)$ ）
- 零空间（ $N (A)$ ）
- 行空间（ $C(A^T)$ ）
- 左零空间（ $N(A^T)$ ）
- 例子
- 矩阵空间
第11讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
- 矩阵空间
- - 一些子空间
  - - 对称矩阵S （symmetric）
    - 上三角矩阵U （upper triangular）
    - 矩阵空间的交与和
    - 微分方程例子
- 秩1矩阵
- - 秩1矩阵的分解
  - 问题1：所有的秩4的 $5 \times 17$ 矩阵能构成一个子空间吗
  - 问题2：取 $\mathbb{R}^4$ 中满足 $v_1+v_2+v_3+v_4=0$ 的所有向量。能组成一个向量子空间吗？
  - - 证明：
    - 求子空间 $S$
- 小世界图
第12讲：图和网络
- 图的意义
- 关联矩阵表示
- 线性代数相关概念所表达的实际意义
- - 零空间与电势差
  - 左零空间与基尔霍夫电流定律
  - - 左零空间的基和回路
  - 行空间与回路
  - 左零空间的维数公式与欧拉公式
- 总结
第13讲：复习一

第1讲：方程组的集合解释

1. 从方程组到矩阵

矩阵的诞生是为了用一种简洁的方式表达线性方程组
个人理解来说就是为了更好的描述和解决 Ax = b
从系统的角度来理解：
A：系统
x：输入
b：输出

2. $A x = b$ 解法1：row picture 行图像

矩阵分为行row和列column
row picture 关注矩阵行部分

将行所代表的方程以直线形式画出，求出交点即可得到行图像，从而得到方程的解

三维时的解法：求出三个平面的交点

3. $A x = b$ 解法2：column pircture 列图像

column picture关注列的部分，我们视一列为一个向量vector

求出合适的线性组合（linear combination），使得 Ax = b

数形结合：

数：

$\begin{bmatrix} 2 \\-1 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -1 \\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\3 \end{bmatrix} \qquad \qquad \qquad (1)$

A：等式左边的两个常数列向量拼接成的常矩阵
x：两个变量x,y组成的向量 (注意x的含义区分：前者为向量，后者为组成该向量的一个变量)
b：目标向量
x = 1，y = 2时，Ax = b

形：

1倍的列向量1 和 2倍的列向量2 进行矢量和，可得目标向量

三维时的解法：求出三个三维向量的线性组合，得到目标向量
（维度三维及以上时，列图像解法更具优势）

4.问题：于任意的b，是否都能求解 $A x = b$ ？用列向量线性组合的观点阐述就是，列三维情况下，向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？

答：如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，如果col3=col1 + col2 ，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此当b在平面内，方程组有解，而当b不在平面内，这三个列向量就无法构造出b。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到bb？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分bb无法求得。

5. 矩阵乘法方法

5.1 向量内积

$\begin{array}{l} A=\left[\begin{array}{lll} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{ll} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \\ b_{3,1} & b_{3,2} \end{array}\right] \\ C=A B=\left[\begin{array}{ll} a_{1,1} b_{1,1}+a_{1,2} b_{2,1}+a_{1,3} b_{3,1}, & a_{1,1} b_{1,2}+a_{1,2} b_{2,2}+a_{1,3} b_{3,2} \\ a_{2,1} b_{1,1}+a_{2,2} b_{2,1}+a_{2,3} b_{3,1}, & a_{2,1} b_{1,2}+a_{2,2} b_{2,2}+a_{2,3} b_{3,2} \end{array}\right] \end{array}$ 、IC替代型号，打造电子元器件IC百科大全！

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