目标平面可以是一个点$x$法向量$\vec{n}$还有一点$p_i\in P^k$ 平面距离为：
$$d_i=(p_i-x)\cdot \vec{n}$$

即取平面上一点，平面外一点的到平面的距离，就是这两点组成的向量在法向量上面的投影。

如果点到平面的距离为0，即$d_i=0$，我们就可以求出平面的法向量了。因此通过以下步骤：

1. 求所有点的质心$p^k$
   $$x=\bar{p}=\frac{1}{k}\cdot \sum _{i=1}^k{p}_i$$

2. 计算质心$p^k$的协方差矩阵$C\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$，及其特征向量和特征值
   C = 1 k ∑ i = 1 k ϵ ⋅ ( p i − p ˉ ) ⋅ ( p i − p ˉ ) T , C ⋅ v j ⃗ = λ j ⋅ v j ⃗ , j ∈ { 0 , 1 , 2 } C = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \epsilon \cdot (p_i - \bar{p}) \cdot (p_i - \bar{p})^T, C\cdot \vec{v_j} = \lambda_j \cdot \vec{v_j}, j\in \{0, 1, 2\} C=k1​i=1∑k​ϵ⋅(pi​−pˉ​)⋅(pi​−pˉ​)T,C⋅vj​ ​=λj​⋅vj​ ​,j∈{ 0,1,2}

   其中$ϵ$通常为1。$C$是对称和半正定矩阵且它的特征值是实数${\lambda }_j\in \mathbb{R}$。特征向量$\overrightarrow{v_j}$形成了orthogonal frame， 相对应于质心$p^k$的主成分(principal components)。 如果$0\le {\lambda }_0\le {\lambda }_1\le {\lambda }_2$，最小特征值${\lambda }_0$的特征向量$\overrightarrow{v_0}$就是法向量 + n ⃗ = { n x , n y , n z } + \vec{n} = \{n_x, n_y, n_z\} +n ={ nx​,ny​,nz​}或者$-\vec{n}$的近似。 或者，$\vec{n}$可以在球坐标系下用$\varphi ,\theta$表示:
   $$\varphi =\arctan (\frac{n_z}{n_y}),\theta =\arctan \frac{\sqrt{(n_y^2+n_z^2)}}{n_x}$$

   可以看到，通过主成分分析法(PCA)来计算它的方向具有二异性，无法对整个点云数据集的法向方向进行一致性定向。 如下图所示：

   

3. 计算法向与视点
   解决这个问题的办法就是使用视点$V_p$。对所有法线$\overrightarrow{n_i}$定向只需要使它们一致朝向视点的方向，满足下面的方程式:
   $$\overrightarrow{n_i}\cdot (V_p-p_i)>0$$

先来看看PCL法向量估计的模板。通常包含以下步骤：

• 设置输入点云，及其索引方法
• 设置临近点的半径
• 计算法向量