MATLAB实验MATLAB数值计算：二阶电路时域研究

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1、实验二MATLAB数值计算：二阶电路时域分析1。在物理和工程技术方面，许多问题可以用一组常微分方程来描述，因此需要解决 相应的实际问题往往需要先解决相应的微分方程(组)。在大多数情况下这些微分方程(组) 通常是非线性或超过方程(如范德堡方程、波导本征值方程等)。)，很难解释 因此，通常需要使用计算机数值求解(近似解)。MATLAB作为一种强大的科学计算语 在数值汁算和数据可视化方面具有无与伦比的优势。在决常微分方程(组)问题， MATLAB在不同场合(如刚性和非刚性问题)下提供了多种求解器(Solver),例如 od亡45, odel。

2、5s, ode23, ode23s等等。本实验将采用二级线性电路-RLC电路和二阶非线性 以电路-范德堡电路时域计算为例，了解和学习使用MATLAB用作汁算工具来解决复杂的微分 为了达到以下目的：1. 熟练使用dsolve常微分方程的函数解释. 熟练运用ode45求解器常微分方程的数值. 了解状态方程的概念，能使用MATLAB计算和分析二阶电路；2.实验准备知识1. 微分方程的概念未知函数及其某些阶导数与自变量联系在一起的方程称为 微分方程。若未知函数为一元函数，则称为常微分方程(Ordinary differential equations。

3、,简 称odes )。阶常微分方程的一般形式(隐式)为:，严格)=0(1)其中/为自变。若方程中的未知函数和各阶导数为一次，则称为线性常微分方程，否则 是非线性微分方程，如方程y-y2)y y=0是非线性的。2. 常微分方程方程MATLAB一阶常微分方程和高阶微分方程可以互化，已知的阶常微分方程(显式):米/(U，严格(2)若令x =，儿=”，” = y(n_,)，可将上述公式化为n级常微分方程组： = Zz(人X，儿，儿) .儿=(/，yi,V2,.,yn (即严)称为状态变量，其中只有(即y)就 常微分方程(2)解。(3)。

4.代表每个状态变量的一阶导数的函数表达式，如以下二阶非线性微分方程:(1 若令儿=”儿=F，它可以改写成两个阶级微分方程组(状态方程):r/=2丿2 = (1-斤)力-儿因此/i = y2; /；=儿一儿。只有少数线性常微分方程可以解释求解(即可以计算出精确的解表达式)，例如 常微分方程的阶常系数dy/dt = y 大多数微分方程，特别是非线性方程，可以通过直接积分解出 解释方程很难。虽然有解读解的方程可以手工解决，但是MATLAB也提供了 dslove解释方程指令 解贝使用格式：S =dso。

5、lve(，方程V,，方程2，，， 初始条件2，自变儿)方程用字符串表示，自变量缺省值用D表示仁1阶导数，2阶导数用D表示D以此类推。 S表达式用于解释返回方程。如果是求解方程组，S是每个域的结构体数组 存储方程组每个解的表达式。例1：解释以下微分方程yM= sin(2x) y. y(0) = 0,/(0) = 1s=dsolve D2y=sin (2*x) -yz J y (0) 9 J Dy (0 W。simplify (s) %以最简单的形式显示sans =-l/3*sin (x) *(-5 2*cos (x) ) $未解释方程解(符号表达式)值解。

6.解方程主要依靠计算机进行数值求解(得到的是近似解)，如方程 y-“(l-y2)” y = o必须通过计算机数值求解(结果是一系列解数值而不是表达式)。 考虑到阶微分方程(2)式的数值求解，等同于一阶常微分方程组(3)式。现在写(3)式 矩阵形式：工厂(m(o)其中Y(t) =rey2(0(y )丄丿严n为n一个重量的列向量(Column vector),也称状态向量F= f： (6)h我们知道，微分方程应该有唯一的泄漏，必须给左初值条件。因此，方程(4)型必须具备确认泄漏的初始条件(毛巾为初始时刻):血)，*0)、y.=ym =J V。

7、o)=儿仏)(7)Matlab提供了 odc45指令(ode是常微分方程的英文缩写)来解决方程(4)的数值解(近 似解)。基本使用格式：tout, Yout =ode45 (odefun, tspan, YO,options)参数说明如下：odefun 一般是用M文件编写的函数，odefim代表函数名，代表函数名。函数返回 值为式右边的F(t,Y)=(九允，./h)t。故odefun函数的返回值应该是列向量，这是最简单的 编写格式为：functionF = odefun (t,Y)其功能是计算并返回4型F(t, Y)其中 t时间变量为标量，代表计算过程中的某个时刻Y，代表状态变量：列向星。

8、(即5式)F返回值F(f, Y)，列向量(见6式)odc计算时，45求解指令将在各个时间点不断调用odefun自动输入参数t和函数 Y赋值。tspan指定方程的求解区间to, tj, /u是初始时刻。 Y0用户给左的初始值条件一个重量的列向量，见(7)型。 options可选项。一般来说，它可以被省略。如果用户有特殊要求，则必须使用它odeset指令设置options具体用法可以使用选项help odeset命令查询，这里不要求。 tout在输出求解过程中，列向量、区间/()上各计算点的时间，即tout = (/0r2.(/上计算点的数量是由Mallab自动生成。Yout排列格式的输出矩阵。

9、如下：b(G儿子(儿子)(JYout =儿4)抽 =XO y(o 严): :(8)PM)y2(ff)儿4 力M).严)丿Yout第一列代表状态变量黑di(依次是9山的每一个元素)每一刻 的值，由于yi=y,所以Yout第一列是待求方程的数值解，它显然是一系列离散的y(t) 值：= 0,1,2,./:将 Yout 第一列提取并使用 plot (tout, Yout(:,l)指令即可 绘制解y(t)函数图像。Yout第二列是y的一阶导数8=儿)的数值解，第3列是y的二 阶导数yg)的数值解。Yout第二列是y的一阶导数8=儿)数值解，第三列是y的二 阶导数yg)数值解. 1.二级线性电路1RLC电路中包含两个零输入响应。

10.在动态元件(如电感和电容)中，建立的电路方程为二阶微分方程 如果微分方程是线性的，则为线性电路，如果是非线性方程，则为非线性方程 范德堡电路等性电路。所谓零输入响应，是指电路中仅由动态元件初始储能产生的无外加激励源的响应。根据电路理论，二阶电路的零输入响应如图所示RLC假设电容器已充电，可用以下二阶线性微分方程描述：r/w_l与 兰如L 丄“ =0(9)dt L dt LC如代表电容电压。左初值条件：eL = 1=0lz-0(10)元件参数L=05H心125G.C=OO2F要得到tMO零输入响应必须求解(9)式。A.可直接求解解方程(9)。

解，所以有解读解。下面改用MATLAB中的dsolve指令来求方程 程序如下：S=dsolve(fD2u=-R/L*Du-l/L/C*u (0)=1 fDu(0)=0!, 1) 0% s为字符型数组(字串)，其值为方程9L=05。 C=002 R=125。 %元件参数t=0:0.01:lo 0和1上的时间序列%定义区间y=eval(S). % eval串计算函数，计算字串S (即9式的解)在七时刻的值plot(t,y)%绘制电压波形，即仕)零输入响应B.虽然数值解方程(9)可以解读求解，但也可以使用ode近似计算45指令。令j2=d/c/d/, 将方程9改写为以下状态方。

12、程：J2，=LC(ii)上面的公式也可以写成(4)形式，所以状态向量Y= (yP y2) T, F= (/P f2) T= (y2t - l/L/6*Vi - /?/L*y2)T (12)第一步:创建M文件ode函数，函数名circuitorderodefuno function F=circuit_2order_odefun(tz Y)global L C R%定义全局变橄榄L、C、R,实现参数MATLAB基本工作空$间和 函数特殊空间之间的数据传输F=Y(2) . -1/L/C*Y(1)-R/L*Y(2) o % 函数返回值 F,列向量见(12)型 请注意，函数创建后，必须存盘。

13.存储文件名和函数名应一致！ 第二步:创建M脚本文件circuit_2order .mL=05 C=002。 R=125。 %元件参数Y0=lo 0o %列向量，初始件tspan=0,1 o %定义0，1tout,Yout=ode45(1circuit_2order_odefun1rtspan,Y0)plot (tout, Yout (: z 1) ) o %绘电压波形，即Uu(t)零输入响应2.二级非线性电路一范德堡(Van de Pol)范德堡电路由线性电感、线性电容和非线性电阻组成(a)所示。非 线性电阻的伏安特性如图所示(b)显而易见，电阻是非线性的。

14、。范徳堡电路的特性可由一个二阶非线性微分方程描述(参见邱关源的电路第5版P463-P465)：务(T)务 E(13)其中s = C/Lo上面是著名的范德堡方程。该方程难以解读求解，必须借助计算机数值求解。令y, =il.y2=diL/dt,将范德堡方程改写成一阶微分方程组(状态方程):2 =班一才)儿一(14)上式也可以写成(4)形式。所以状态向量Y和F分别为/Ji*25工(1 一才)力一儿(15)假参数Q0.1，求解区间0,100,以及初值条件4(0)、b(o)请模仿实验内容1(16)使用odc45指令解决范德堡方程，并绘制电流唐的波形(即电流的零传输) 进入响应图)。四. 实验任务1. 在计算机上练习输入实验内容1中提供的程序，熟悉dslove指令以及odc使用45指令的方法， 并尝试回答思考题U2. 在任务1的基础上，独立编制实验内容2的计算程序，并尝试回答思考题3。五、思考题1. 在实验内容1中使用odc如何获得电流的零输入响应波形？2. 在实验内容1中，试研究R=g, 2H, 3Q,，电压在100点响应波形，并将其反应 画在一张图上。你能从任务2的电流波形图(如下图所示)中得出什么结论？如何绘制范德堡电路？ 心九函数图像(称为相图)(提示:F申7=5 91) at 5s 3附实验任务2的参考图。