Chapter2：Configuration Space

本章将所有机器人建模成刚体连杆。

2.1 自由度计算

对于机器人来说，首先要注意的是它在哪里？如何描述机器人的位置非常简单，即描述机器人上的每个点。由于机器人的连杆刚性，形状已知，只需几个坐标即可描述。如图所示，铰链角度可用于门的位置θ来描述。

图1 门

两个坐标可用于平面上某一点的位置(x, y)用三个坐标来描述硬币正面朝上的位置：两个坐标(x, y)表示硬币上某一点的位置和角度θ表示硬币的朝向。这些坐标都在连续的实数域内取值。

图2 坐标描述

由此，我们引出自由度的定义，机器人的自由度(dof)表示位形所需的最小实值坐标数。

在我们上面的描述中，门有一个自由度，硬币有三个自由度。这里需要注意的是，硬币虽然有两种前后状态，但前后是一个离散的集合，而不是一个连续的实数空间。

这样，本章的第一个定义就出现了，加粗部分是C空间的定义:

Definition 1： The configuration of a robot is a complete specification of the position of every point of the robot. The minimum number n of real-valued coordinates needed to represent the configuration is the number of degrees of freedom (dof) of the robot.

The n-dimensional space containing all possible configurations of the robot is called the configuration space (C-space). The configuration of a robot is represented by a point in its C-space.

接下来，我们将探索刚体的自由：

以桌面上的硬币为例，选择三点A、B、C，建立直角坐标系o-xy，如果这些点可以独立放置在平面上的任何位置，硬币将有6个自由度-3个点，每个点有2个自由度。A、B、C三点之间的距离是一个定值，其坐标为：$\left(x_A,y_A\right),\left(x_B,y_B\right),\left(x_c,y_c\right)$.

他们满足以下关系：
$$\begin{array}{l}d(A,B)=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}=d_{AB},\\ d(B,C)=\sqrt{{\left(x_B-x_C\right)}^2+{\left(y_B-y_C\right)}^2}=d_{BC},\\ d(A,C)=\sqrt{{\left(x_A-x_C\right)}^2+{\left(y_A-y_C\right)}^2}=d_{AC}.\end{array}$$
要确定硬币的自由度数，首先选择A点的坐标 ，这样由于约束条件，B点就只能在以A点为圆心的圆上，此时B相对于A位置的确定仅仅只需要B相对于A的夹角θ即可，一旦A和B的坐标都确定，那这样C点的位置就有两种情况，在以A点为圆心的圆以及和B点为圆心的圆的交点处，这恰好对应着硬币为正反面的两个位置，由此，硬币在平面上有三个自由度，即$(x,y,\theta )$。

如果我们在硬币上再选择一点D，重复上述的计算过程，可以很容易得出引入的D点坐标将被消掉，因此没必要再去考虑别的点。

图3 自由度计算说明图

那么对于确定刚体系统的自由度数，有没有什么通用的计算方法呢，常用的规则如下：
$$degreesoffreedom=(sumoffreedomsofthepoints)-(numberofindependentconstraints)$$
这个规则也可以用描述系统的变量和独立方程的数量来表示:
$$degreesoffreedom=(numberofvariables)-(numberofindependentequations)$$
很明显硬币的例子就可以用系统的变量数目6减去独立方程的数目3得到，在平面上放置的硬币的自由度为3.

上述规则还可以推广用于确定三维空间中刚体的自由度，依旧以硬币为例，假设其在空间内任意位置，那这样依旧使用规则进行计算，系统的独立变量数目为9减去独立方程的数目3，那么在空间中的硬币的自由度为6.

通过上述例子，在三维空间中的刚体，称为spatial rigid body，有6个自由度，在二维平面中的刚体，称为planar rigid body，有3个自由度，在二维平面中的刚体可以看成是空间6自由度的刚体附加了$z_a=z_b=z_c=0$ ,也可以是其余两个参数)的约束。

由上述的两个规则，就可以得到确定一般机器人自由度的规则：
$$degreesoffreedom=(sumoffreedomsofthebodies)-(numberofindependentconstraints)$$
了解了刚体系统自由度的计算，下面我们进入机器人自由度的计算：

再次考虑一开始提到的的门的例子，门由一个单一刚体通过铰链连接到墙壁。很容易看出门只有一个自由度，用铰链接的角度来表示。如果没有铰链，门就可以在三维空间中自由移动，有6个自由度，通过铰链将门与墙连接，门的运动受到五个独立约束，只能转动，也可以这样理解或者，门可以从上面看，视为一个平面体，有三个自由度。然后铰链关节施加两个独立的约束，只有一个独立的坐标。

上述的描述我们可以看出，铰链的存在使得自由度降低了，对于主要由关节和连杆组成的机器人来说，能否通过计算关节和连杆数目确定机器人的自由度呢，答案是肯定的，这就是用于计算机器人自由度的$\text { Grübler’s formula} $.

在进入公式之前，我们需要了解机器人中都有哪些关节：

图4 常见关节

各关节的自由度数和约束数目如下表所示：

有了这些，我们就可以开始介绍来计算机器人的自由度，废话不多说，上公式：

注意：本公式只有在所有关节约束都是独立的情况下才成立。如果它们不是独立的，那么公式就提供了自由度数目的下界。

说实话，看这英文是否大家都很懵圈，因此推荐大家去看孙恒，陈作模，葛文杰.机械原理（第八版）[M].高等教育出版社，2013:195-260，第2章第5节：机构自由度的计算，空间机构自由度计算公式为：
$$F=6n-\sum _{i=1}^5{\mathrm{i}\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$$
式中n为活动构件数，即机构的构件数N减去机架，$N=n-1$,$p_i$为$i$级副的个数,$i$为$i$级副的约束数目，看下面几张图：

图5 空间运动副图

图6 空间运动副图

是不是和英文文献的表很相似，这样中英文的公式就对上了，下面用一个例子来展示如何计算：

图7 仿人机械臂

这是一个仿人机械臂，那由人的身体结构可以得到，肩关节和腕关节为球面副，肘关节为球销副，以人体肩部为机架，那么我们使用公式来进行计算：

活动构件数n为4-1=3，球面副按照图可知是三级副，球销副是四级副，那么就有两个三级副，1个四级副，几级副就意味着有几个约束，那么四级副有4个约束，自由度,6-4=2,同理三级副就是3，这样代入公式可得，仿人机械臂的自由度为：6x3-2x1-3x2=8

自由度为8>6表示仿人机械手运动的灵活度较高，有很好的绕障工作能力。

通过上述例题，空间自由度的计算是否就很简单了呢，只需要知道活动构件数，几级副的数目再结合几何结构就可以很方便算出。

2.2 拓扑学

拓扑学部分，这里着实抽象，高能预警：

接下来探讨C空间的拓扑结构和表示，之前的讨论，一直在关注机器人自由度数。然而，C空间的形状拓扑结构也很重要。

考虑一个在球面上移动的点。点的C空间是二维的，因为点的位置可以用纬度和经度两个坐标来描述。对于在平面上移动的点，也有一个二维的C空间，即坐标(x, y)。显而易见，虽然一个平面和一个球体的表面都是二维的，但平面无限延伸，而球体环绕包裹。

与平面不同的是，一个较大的球体与原来的球体有着相同的形状，因为它们以相同的方式环绕，仅仅只是直径不同。椭圆形的橄榄球也类似于球形，橄榄球和球体之间的区别是橄榄球是球体向一个方向拉伸产生的。

实线的开区间(a, b)可以变形为开半圆，通过下图所示的做法，这个开放的半圆也可以变形为真实的直线即从半圆中心的一点开始，画一条与半圆相交的射线，然后在半圆上方画一条线，这些射线表明，半圆上的每一点都可以拉伸到直线上的一点，反之亦然。因此，开区间可以连续变形为直线，开区间和直线在拓扑上是等价的。

图8 开区间的拓扑表示

小球体、大球体和足球的二维表面都有相同的形状，但其余平面的形状是不同的，这种想法是通过表面的拓扑来表达的。在这本书中，不进行严格的处理，如果一个空间可以在不切割或粘合的情况下不断变形成另一个空间，那么这两个空间在拓扑上是等价的。球体可以简单地通过拉伸变形成橄榄球，而不需要切割或粘合，因此这两个空间在拓扑上是等价的。但是，你不能在不切割球体的情况下把它变成平面，所以球面和面在拓扑上是不相等的。

拓扑上不同的一维空间包括圆、直线和直线的闭合区间。圆被数学的描述为$S$或$S^1$,即一维球面，线被写作$E$或$E^1$，表示一维的欧几里德(或"平坦")空间，因为$E^1$中的点通常用实数表示(在选择原点和长度尺度之后)，所以它通常写成$R$或$R^1$，包含其端点的直线的闭区间可以写成[a,b]包含于 $R^1$ ，开区间(a, b)不包括端点a和b，拓扑上等同于一条线，因为开区间可以拉伸成一条线，如图所示。

闭区间在拓扑上不等同于直线，因为直线不包含端点。

在高维中， $R^n$ 是n维欧几里德空间，$S^{}$