本文采用经典串级 PI 控制器控制永磁无刷电机的电流环和速度环，讨论了系统的建模和控制器的参数。

一. 电流环设计

电机电流环传输函数如下：

电机的传输函数为 $1/(RLs)$，$R$ 和 $L$ 分别为电机的相电阻和相电感。使用一阶低通滤波器对反馈电流进行滤波，其传递函数为 $1/(1T_{f}s)$，其中 $T_f$ 是滤波器的时间常数。 PI 控制器 PI 控制器的传输函数为 K p ( K i s ) / s K_p(K_i s)/s Kp/span>​(Ki​+s)/s，并联型 PI 控制器的传递函数为 $(K_{p}s+K_i)/s$，本文为方便进行零点配置，推导时使用的是串联型的 PI 控制器，但在最后也会给出并联型 PI 控制器参数的推导公式。逆变器的传递函数为一个延时环节，对于7段式 SVPWM 调制来说，其延时 $T_p$ 等于 $T_d/2$（在有些设计中按最大延时考虑，即 $T_d$ ），$T_d$ 为电流环的一个计算周期。同时，考虑到控制器是离散的，整个回路中还有 $T_d$ 的延时。

在框图中，我们没有考虑反电动势的影响，因为对电流环来说，反电动势是一个慢变的扰动，只要电流环的带宽足够大，就可以忽略反电动势项的影响。忽略反电动势影响的条件如下，其中，$w_b$ 为电流环的闭环带宽，$T_e$ 为电机的电磁时间常数，$T_m$ 为电机的机电时间常数，详细推导见第三节。
$$w_b\ge 3\sqrt{\frac{1}{T_e{T}_m}}$$
若电流环的带宽不满足近似条件，或对电流环实际带宽有严格的要求，则可以引入前馈控制来补偿反电动势带来的扰动，我们在计算控制器参数的时候同样可以忽略反电动势。

反馈通路上的一阶低通滤波器在抑制噪声的同时，也会带来延时，为了平衡这个延时作用，在输入信号通道上加入一个时间常数相同的惯性环节，称作配合滤波环节，从而使滤波器可以从反馈通路移动到前向通道中，带来设计上的方便，如下图所示：

延时环节 $e^{-T_{d}s}$ 和 $e^{-T_{p}s}$ 不利于设计与分析，故使用泰勒展开将其近似为一个一阶惯性环节：

$$e^{-T_{d}s}=\frac{1}{e^{T_{d}s}}\approx \frac{1}{1+T_{d}s}$$

方框图可以简化如下：

可以看出，传递函数中有多个高频段的小惯性环节，系统的阶次很高，故首先要进行降阶处理。完整的证明见第三节，下面只给出结论。
$$G\left(s\right)=\frac{1}{\left(1+T_{d}s\right)\left(1+T_{p}s\right)\left(1+T_{f}s\right)}$$
$w_b$ 为电流环的带宽，当其满足如下条件时：
$$w_b\le \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{T_d{T}_f+T_d{T}_p+T_f{T}_p}}$$
$G(s)$ 可以近似为：
$$G\left(s\right)\approx \frac{1}{1+\left(T_d+T_p+T_f\right)s}=\frac{1}{1+Ts}$$
故方框图可以简化为：

其中，总延时 $T=T_d+T_p+T_f=T_f+3/2\ast T_d$，系统的开环传递函数如下：
$$G_{open}^{crt}\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{K_p^{crt}(K_i^{crt}+s)}{s}\ast \frac{1}{1+Ts}\ast \frac{1}{R+Ls}$$