电磁感应、电感与变压器

??Biot-Savart定律指出电流元$Idl$距离为$r$任何P刺激的磁感应强度B的大小为
$$dB=k\frac{Idl\sin \theta }{r^2}$$

??图中$dB$垂直于屏幕的方向。$k=\frac{4\pi }{{\mu }_0}$，${\mu }_0$是真空磁导率。磁感应强度B的方向满足右手螺旋定则。

  计算一根通电长直导线附近一点的磁感应强度B。长直导线是由无数个电流元组成，积分即可。

  在长直导线上建立坐标轴，与待求位置P水平的位置作为竖直方向的零点。直接积分，积分变量是$l$，在有了坐标轴的情况下，我们就可以把这个曲线积分转化为定积分。

$$B=\underset{l}{\int }dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\underset{l}{\int }\frac{\sin \theta }{r^2}dl=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \theta }{r^2}dl$$

  但这还是不好求。可以想办法把$\theta$作为积分变量，因为$\theta$是在$(0,\pi )$之间变化的。我们需要找到$dl$与$d\theta$的关系，还有$r$和$\theta$的关系。
  $r$和$\theta$的关系比较好找：
$$r=a/\cos \phi =a/\cos (\pi -\theta )=-a/\cos \theta$$
  $l$与$\theta$的关系是这样的：
$$l=a\tan \phi =a\tan (\pi -\theta )=-a\tan \theta$$
  两边微分后可得：
$$dl=-ad\theta /{\cos }^2(\theta )$$
  再把上面的结果代回到原来的积分式中

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}{\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

  在分析问题的时候，除了通电长直导线附近磁场经常用到，还有环形电流轴线上的磁场也经常会遇到。

  环形电流上每一个电流元到轴线上一点的距离都相等，它们各自产生的磁感应强度叠加后，$dB$垂直于轴线方向的分量都抵消，只剩平行与轴线方向的分量。

$$B=\underset{l}{\int }dB\sin \theta =\frac{{\mu }_{0}I\sin \theta }{4\pi r^2}\underset{l}{\int }dl=\frac{{\mu }_{0}I\sin \theta }{4\pi r^2}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_0}{2}\frac{IR\sin \theta }{r^2}$$
  把$\sin \theta =\frac{R}{r}$，$r=\sqrt{x^2+R^2}$代入得：
$$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2{(x^2+R^2)}^{3/2}}$$
  当$x$趋于无穷大时，$x\approx r$:
$$B=\frac{{\mu }_{0}IS}{2\pi r^3}$$
  S是圆环电流围成的面积。从这个公式中可以看出，圆环电流轴线上远处的某一点（$r$确定）的$B$的大小取决于$I$和$S$的乘积。因此定义了一个概念——磁偶极矩，$p_m$。
$$p_m=IS$$
  磁偶极矩的方向和磁感应强度的方向相同，满足右手螺旋定则。