三维的刚体运动
时间：2022-08-11 02:00:00
1.点与坐标系
2D情况:用两个坐标+旋转角表达
3D情况：
1.点和向量
点是空间中的基本元素，没有长度，没有体积，连接两点，构成向量。向量可以看作是从某一点到另一点的箭头。
向量和坐标的概念不能混淆。一个向量是空间中的东西，比如a。这里的a它不需要与几个实数相关。只有当我们在这个三维空间中指定一个坐标系时，我们才能讨论该坐标系下的向量坐标，即找到几个实数对应该向量。
可以使用三维空间中某个点的坐标点** R 3 \mathbb{R}^3 R3描述。在空间中找到一组基础 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (e_1,e_2,e_3) (e1,e2,e3),然后任意向量a这组基下有一个坐标：
a = [ e 1 e 2 e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a= \left[ \begin{matrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2\\ a_3\\ \end{matrix} \right]=a_1e_1 a_2e_2 a_3e_3 a=[e1e2e3]⎣
⎡a1a2a3⎦
⎤=a1e1+a2e2+a3e3
这里 ( a 1 , a 2 , a 3 ) T (a_1,a_2,a_3)^T (a1,a2,a3)T称为a**在此基下的坐标。坐标的具体取值，一是和向量本身有关，而是和坐标系（基）的选取有关。
对于** a , b ∈ R 3 a,b \in \mathbb{R}^3 a,b∈R3**,通常内积和外积为：
- 内积：
a ⋅ b = a T b = ∑ i = 1 3 = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s ⟨ a , b ⟩ a·b=a^Tb=\sum_{i=1}^{3}=|a||b|cos\langle a , b \rangle a⋅b=aTb=i=1∑3=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩
- 外积：
a × b = [ e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] = [ a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ] = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] b = a Λ b a×b=\left[ \begin{matrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{matrix} \right]b=a^{\Lambda} b a×b=⎣ ⎡e1a1b1e2a2b2e3a3b3⎦ ⎤=⎣ ⎡a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎦ ⎤=⎣ ⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦ ⎤b=aΛb
外积的结果是一个向量，他的方向垂直与这两个向量，大小为 ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n ⟨ a , b ⟩ |a||b|sin\langle a , b \rangle ∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩,是两个向量张成的四边形的有向面积。对于外积运算，我们引入 Λ \Lambda Λ，把a写成一个矩阵。这是一个反对称矩阵，这样就把外积写成矩阵与向量的乘法。把他变成线性运算。
2.坐标系的欧系变换
在slam中
两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，这种运动称为刚体运动。相机就是一个刚体运动。
欧式变换由旋转和平移组成。我们首先考虑旋转。设某个单位正交基 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (e_1,e_2,e_3) (e1,e2,e3)经过一次旋转变成了 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (e_1',e_2',e_3') (e1′,e2′,e3′)。那么对于同一个向量a（向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），他在两个坐标系下的坐标为 [ a 1 , a 2 , a 3 ] T [a_1,a_2,a_3]^T [a1,a2,a3]T和 [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T [a_1',a_2',a_3']^T [a1′,元器件数据手册、IC替代型号，打造电子元器件IC百科大全！
