串联RLC电路分析

时间：2024-11-11 03:37:11

　　电阻器 (R)、电感器 (L) 和电容器 (C) 是电子器件中的三个基本无源元件。它们的属性和行动已在交换电阻、交换电感和交换电容教程中细致先容。在本文中，咱们将重点接头这三个组件的串连组合，称为串连 RLC 电路。起首，演示部份总结了三个构成组件的交换行动，并扼要先容了 RLC 电路。

　　串连RLC电路
　　在第二部份中，咱们接头该电路在直流电压阶跃下的电气行动，并夸大为何这类特定呼应很首要。接下来，咱们在第三部份中经由过程计较和绘制 RLC 电路的通报函数来重点存眷 RLC 电路的交换呼应。最初，咱们经由过程在相互之间切换组件来提出 RLC 电路的两种替换计划，咱们看到交换呼应变得完整分歧。
　　推介会

　　上面的图 1给出了 RLC 电路的暗示：

　　图 1：串连 RLC 电路图解
　　该电阻器是纯电阻元件，其两头的电压和电流之间不存在相移。其阻抗 (Z R ) 在直流和交换状态下坚持沟通，即是 R（以 Ω 为单元）。电感器是纯电抗元件，相移为+90° 或 +π/2 rad。其阻抗由Z L =jωL给出，此中 ω 是交换情况下电压/电流的角脉动，L 是电感（以 H 为单元）。在直流状态下，电感器表现为两个端子之间的短路，而在交换状态下，当阻抗随频次增添时，电感器会酿成开路。电感器通常被视为抵制电流变迁的组件。电容器也是纯电抗元件，但其相移为-90°或-π/2 rad。其阻抗由Z C =-j/Cω给出，此中 C 为电容（以 F 为单元），是以当频次增添时，它在直流状况下表现为开路，在交换状况下表现为短路。电容器通常被视为抵制电压变迁的组件。在图1中，这三个组件串连互连。该电路由直流或交换电源供电，输入是电容器两头的电压。电路的总阻抗是后面所述的自力阻抗的总和：Z RLC =Z R +Z L +Z C =R+j(Lω-(1/Cω))鄙人一节中，咱们将先容该电路对电压阶跃的呼应，也称为瞬态呼应。
　　瞬态呼应

　　在本节中，咱们将重点存眷图 1中所示电路在使用 Heaviside 步调 H(t) 时的行动：

　　图 2：赫维赛德函数图示

　　Heaviside 步调的特性是，当 t<0 时即是 0，当 t>0 时即是V in 。这两种状况之间的转换类似于脉冲，由于当 t=0 时导数趋向于 +∞。经由过程对电路举行网格阐发，咱们能够写出V in =R×I+L×dI/dt+V out。另外，咱们晓得电流能够改写为 I=C×dV out /dt，从而失掉如下二阶微分方程：

　　eq 1：串连RLC电路的二阶微分方程

　　该方程的解是永远呼应（时候恒定）和瞬态呼应V out,tr（时候变迁）之和。永远呼应很轻易且显而易见，解 V out =V in确实是方程 1的永远解。瞬态呼应的肯定很庞杂，触及许多步调，本文将不细致先容。咱们抵赖它的表达式能够接纳三种分歧的方式，而且取决于称为电路质量因数的Q=(1/R)√(L/C)的值。另一个首要参数是ω 0 =1/√(LC)，它是电路的基础脉动。当 Q>1/2 时，该状况被称为伪周期或欠阻尼呼应，瞬态呼应能够写成V out,tr =Ae -αt cos(ωt+Φ) 的方式。常数 A、α 和 Φ 能够经由过程思量电路的初始前提（电容器是不是充电……）来找到。脉动ω被称为伪脉动而且取决于基础脉动ω 0。当 Q<1/2 时，该状况被称为非周期性或过阻尼呼应，瞬态呼应的方式为V out,tr =e -αt (A 1 e -ωt +A 2 e ωt )。最初，Q=1/2 时的最初一种情形，对应于临界状况或临界阻尼呼应。在这类情况下，V out,tr =(A+Bt)e -ω 0 t。需求记着的首要一点是，这些分歧的解决计划抉择了电压 V out的行动体式格局，以及在对其使用 Heaviside 步调时趋向于其永远值 V in 的情形：

　　图 3：分歧瞬态呼应状况的曲线
　　咱们能够经由过程开端说跟着时候的增添每条曲线都趋于 0 来谈论这个数字。这是有事理的，由于咱们晓得 V out =V in +V out,tr且 V out (t→+∞)=V in，是以，V out,tr →0。然而，分歧的大概瞬态响应在沟通的速率和行动下不会趋于 0。临界状况是最快趋于 0 的状况，而非周期状况最慢。伪周期状况显现振幅呈指数降低的振荡。关于未知的 RLC 电路，辨认瞬态呼应并将其与最好大概曲线相匹配可认为咱们供应电路的首要属性，比方ω 0 和Q。
　　交换呼应

　　在本节中，咱们思量图 1中所示的沟通电路，当初供应交换电源。应用复数暗示中 dX/dt=jωX 的性子，此中 ω 是源的角脉动，咱们能够将方程 1重写为如下方式：