【高等数学】微分方程
时间：2023-12-22 18:07:01
文章目录
- 微分方程的基本概念
- 可分离变量的微分方程
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- 可分离变量微分方程的定义
- 二、解决分离变量微分方程的方法
- 齐次方程
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- 一、定义齐次方程
- 二、解决齐次方程的方法
- 线性微分方程方程
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- 一、一级线性齐次微分方程
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- 1. 一阶线性齐次微分方程的一般形式
- 2. 一阶线性齐次微分方程的通解形式
- 二、一级线性非齐次微分方程
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- 1. 一阶线性非齐次微分方程的一般形式
- 2. 线性非齐次微分方程解形式
- 三、伯努利方程
- 1. 伯努利方程的一般形式
- 2. 求法及通解形式
- 高阶微分方程可降阶
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- 一、 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)的微分方程
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- 求法
- 二、 y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y′)微分方程
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- 求法
- 三、 y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y′)型的微分方程
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- 求法
- 高阶线性微分方程
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- 一、线性微分方程解的结构
- 二、二阶常系数齐次线性微分方程
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- 1. 定义
- 2. 求法及通解形式
- 三、高阶常系数齐次线性微分方程
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- 1. 一般形式
- 四、二阶常系数非齐次线性微分方程
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- 1. 定义
- 2. 求法及通解形式
微分方程的基本概念
微分方程：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程
微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶
微分方程的解：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程称为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解
微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数
初值条件：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 y ∣ x = x 0 = y 0 y|_{x=x_0}=y_0 y∣x=x0=y0，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为 y ∣ x = x 0 = y 0 , y ′ ∣ x = x 0 = y 0 ′ y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y'_0 y∣x=x0=y0,y′∣x=x0=y0′，其中 x 0 , y 0 , y 0 ′ x_0,y_0,y'_0 x0,y0,y0′都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程的定义
如果一个一阶微分方程能写成 g ( y ) d y = f ( x ) d x g(y)dy=f(x)dx g(y)dy=f(x)dx的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和 d y dy dy，另一端只含 x x x的函数和 d x dx dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
二、求解分离变量的微分方程的方法
- 将微分方程化为 g ( y ) d y = f ( x ) d x g(y)dy=f(x)dx g(y)dy=f(x)dx
- 将上式两端同时积分得 ∫ g ( y ) d t = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dt=\int f(x)dx ∫g(y)dt=∫f(x)dx
- 设 G ( x ) G(x) G(x)及 F ( x ) F(x) F(x)依次为 g ( y ) g(y) g(y)及 f ( x ) f(x) f(x)的原函数，得 G ( y ) = F ( x ) + C G(y)=F(x)+C G(y)=F(x)+C
例1：求微分方程 sec 2 x tan y d x + sec 2 y tan x d y = 0 \sec^2x\tan ydx+\sec^2y\tan xdy=0 sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0的通解
sec 2 x tan y d x + sec 2 y tan x d y = 0 ⇒ sec 2 y tan x d y = − sec 2 x tan y d x ∫ sec 2 y tan y d y = − ∫ sec 2 x tan x d x ln ∣ tan y ∣ = − ln ∣ tan x ∣ + ln C 1 tan y tan x = C C (为任意常数) \begin{aligned}\sec^2x\tan ydx+\sec^2y\tan xdy&=0\\\Rightarrow \sec^2y\tan xdy&=-\sec^2x\tan ydx\\\int\frac{\sec^2y}{\tan y}dy&=-\int\frac{\sec^2x}{\tan x}dx\\\ln|\tan y|&=-\ln|\tan x|+\ln C_1\\\tan y\tan x&=C\quad C\text{(为任意常数)}\end{aligned} sec2xtanydx+sec2ytanxdy⇒sec2ytanxdy∫tanysec2ydyln∣tany∣tanytanx=0=−sec2xtanydx=−∫tanxsec2xdx=−ln∣tanx∣+lnC1=CC(为任意常数)
齐次方程
一、齐次方程的定义
如果一阶微分方程可以化为 d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) dxdy=f(xy)的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。例如 ( x y − y 2 ) d x − ( x 2 − 2 x y ) d y = 0 (xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0 (xy−y2)dx−(x2−2xy)dy=0可化为 d y d x = y x − ( y x ) 2 1 − 2 ( y x ) \frac{dy}{dx}=\frac{\frac yx-(\frac yx)^2}{1-2(\frac yx)} dxdy=1−2(xy)xy−(xy)2
二、求解齐次方程的方法
- 将原微分方程化为 d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac yx) dxdy=f(xy)的形式
- 令 u ( x ) = y x u(x)=\frac yx u(x)=xy，则 y = u x y=ux y=ux， d y d x = u + x d u d x \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} dxdy=u+xdxdu
- 原微分方程可化为 u + x d u d x = f ( u ) u+x\frac{du}{dx}=f(u) u+xdxdu=f(u)，将其分离变量得 d u f ( u ) − u = d x x \frac{du}{f(u)-u}=
