设数集 $D?\mathbb{R}$，则称映射 $\mathbf{f}:D\to {\mathbb{R}}^n$ 为一元向量值函数，记为
$$\mathbf{r}=\mathbf{f}(t),t\in D$$
其中，$D$ 为函数定义域，$t$ 为自变量，$r$ 为因变量。

以三维向量为例，设 $\mathbf{f}(t)=\left(f_1(t),f_2(t),f_3(t)\right)$，则
$$\underset{t\to t_0}{\lim }\mathbf{f}(t)=\left(\underset{t\to t_0}{\lim }{f}_1(t),\underset{t\to t_0}{\lim }{f}_2(t),\underset{t\to t_0}{\lim }{f}_3(t)\right)$$

设 $\mathbf{f}(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，若 $\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{f}(t_0+\Delta t)+\mathbf{f}(t_0)}{\Delta t}$ 存在，则称此极限向量为一元向量函数 $\mathbf{r}=\mathbf{f}(t)$ 在 $t_0$ 处的导数（导向量），记作 ${\mathbf{f}}^{{}^{\prime }}(t_0)$ 或 ${\frac{d\mathbf{r}}{dt}|}_{t=t_0}$。

$${\mathbf{f}}^{{}^{\prime }}(t_0)=f_1^{{}^{\prime }}(t_0)\mathbf{i}+f_2^{{}^{\prime }}(t_0)\mathbf{j}+f_3^{{}^{\prime }}(t_0)\mathbf{k}$$

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\mathbf{C}=0\\ & \frac{d}{dt}\left[c\mathbf{u}(t)\right]=c{\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}(t)\\ & \frac{d}{dt}\left[\mathbf{u}(t)\pm \mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}(t)\pm {\mathbf{v}}^{{}^{\prime }}(t)\\ & \frac{d}{dt}\left[\phi (t)\mathbf{u}(t)\right]={\phi }^{{}^{\prime }}(t)\mathbf{u}(t)+\phi (t){\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}(t)\\ & \frac{d}{dt}\left[\mathbf{u}(t)\mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}(t)\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t){\mathbf{v}}^{{}^{\prime }}(t)\\ & \frac{d}{dt}\left[\mathbf{u}(t)\times \mathbf{v}(t)\right]={\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}(t)\times \mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times {\mathbf{v}}^{{}^{\prime }}(t)\\ & \frac{d}{dt}\mathbf{u}\left[\phi (t)\right]={\phi }^{{}^{\prime }}(t){\mathbf{u}}^{{}^{\prime }}\left[\phi (t)\right]\end{array}$$

导向量是向量值函数终端曲线 $\Gamma$ 在点 $M$ 处的一个切向量，其指向与 $t$ 的增长方向（$t$ 增大时点 $M$ 的移动方向）一致。