MATLAB PDE工具箱在半导体器件中的应用研究
时间：2023-09-10 03:07:01
1. 引言
半导体是现代发现的一种新型材料，其导电性能介于导体和绝缘体之间，是制造电子设备的重要材料。半导体材料独特的导电性能为计算机和电子设备的发展提供了更广泛的可能性，并在日常生活中得到了广泛的应用。随着21世纪科学技术和经济的快速发展，半导体的重要性大大提高。如今，大多数电子产品的核心设备都与半导体密切相关。
研究半导体问题的数值方法已成为吸引国内外大量专家学者的重要学科。20世纪70年代初，半导体设备吸引了许多外国专家学者的研究。自半导体设备模拟发展以来，国外有许多优秀的模拟软件，如SEDAN、一维设备模拟程序NEMO (Nano Electronic Engineering Modeling)，还有许多二维和三维半导体模拟软件和一系列著名的商用器件模拟软件，它们被广泛应用于设备的数值模拟中 [1] 。由于国内半导体的应用发展较晚，许多国内知名高校和研究所开始重视半导体器件模拟的研究。目前，研究最多的模型是热传导半导体的瞬态问题 [2] [3] 并建立了模型库。
模拟半导体器件的主要方法是差分法和有限元法。差分法是最早开发的模拟半导体器件。差分法相对简单，易于掌握，但多维差分法很难解决几何边界复杂的半导体器件。与差分法相比，相对范围的离散更自由，更容易处理边界复杂的半导体器件 [4] ，但是你需要自己编程和调试。由于边界条件的复杂性，很难解决。目前应用Matlab工具箱可以解决数据处理、电动力学、非线性方程组等问题 [5] [6] [7] 。主要用于本文Matlab中PDE结合工具箱和编程解决瞬态半导体器件问题的方法。算例表示使用PDE工具箱与编程相结合，步骤简单，求解灵活，适应性强，结果可视化程度高。该方法用于数值计算和图形处理，误差小，使用简单、方便、高效。
2. 半导体器件的数学模型
热传导半导体瞬态问题的数学模型由四个方程组成的非线性偏微分方程组的初始边值决定
Ω 是
R
d
(
d
=
2
,
3
) 中多边形或多面体Lipschitz边界为区域
?
Ω。考虑热传导半导体的瞬态问题 [8] 。
?
Δ
ψ
=
?
?
u
=
a
(
p
?
e
N
(
x
)
)
,
(
x
,
t
)
∈
Ω
×
J
,
J
=
(
0
,
T
ˉ
]
, (2.1)
?
e
?
t
=
?
?
[
D
e
(
x
)
?
e
?
μ
e
e
?
ψ
]
?
R
(
e
,
p
,
T
)
,
(
x
,
t
)
∈
Ω
×
J
, (2.2)
?
p
?
t
=
?
?
[
D
p
(
x
)
?
p
μ
p
p
?
ψ
]
?
R
(
e
,
p
,
T
)
,
(
x
,
t
)
∈
Ω
×
J
, (2.3)
ρ
(
x
)
?
T
?
t
?
Δ
T
=
{
(
D
p
(
x
)
?
p
μ
p
p
?
ψ
)
?
(
D
e
(
x
)
?
e
?
μ
e
(
x
)
e
?
ψ
)
}
?
?
ψ
,
(
x
,
t
)
∈
Ω
×
J
. (2.4)
ψ
(
x
,
t
)
=
e
(
x
,
t
)
=
p
(
x
,
t
)
=
T
(
x
,
t
)
=
0
,
(
x
,
t
)
∈
?
Ω
×
J
, (2.5)
e
(
x
,
0
)
=
e
0
(
x
)
,
p
(
x
,
0
)
=
p
0
(
x
)
,
T
(
x
,
t
)
=
T
0
(
x
)
,
x
∈
Ω
. (2.6)
其中(2.(2)电子位置方程.2)和(2.3)分别是电子和空穴浓度方程(2).4)是温度方程。电子位置方程为椭圆形，电子和空穴浓度方程为对流扩散，温度方程为热传导。电子位置是通过电场强度出现在电子、空穴浓度方程和热传导温度方程中，并与相应的初始边值条件形成封闭系统 [9]
3. PDE工具箱简介
MATLAB是用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言，自带强大的各种工具箱功能，其中偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)本质可以看做一些M文件的集合，用户只要使用界面或M文件，画出所需要的求解区域，输入方程类型和有关系数，就可得到可视化结果 [10] 。
3.1. PDE工具箱求解的方程类型
工具箱有限元求解的基本思想是 [10] ：通过将PDE求解区域三角形剖分；每个三角形上用二元线性函数做近似；选取二元线性函数的参数，使各个网格点满足PDE和边界条件 [11] 。
偏微分方程可根据它们的数学特征分为三大类型即椭圆型方程，抛物线型方程和双曲型方程 [12] [13] [14] [15] 。
椭圆型方程：
−
∇
⋅
(
c
∇
u
)
+
a
u
=
f
,
x
∈
Ω
, (3.1)
抛物型方程：
d
∂
u
∂
t
−
∇
⋅
(
c
∇
u
)
+
a
u
=
f
,
x
∈
Ω
, (3.2)
双曲型方程：
d
∂
2
u
∂
t
2
−
∇
⋅
(
c
∇
u
)
+
a
u
=
f
,
x
∈
Ω (3.3)
其中，
Ω 为平面有界区域，
∇
=
(
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
)
T 为梯度算子，其中
c
,
a
,
f 是已知函数及u是未知函数。
3.2. 方程边界条件类型
边界条件有以下三类：
1) 狄利克雷(Dirichlet)条件
h
u
=
r
,
x
∈
∂
Ω (3.4)
2) 诺依曼(Neumann)条件
n
→
⋅
(
c
∇
u
)
+
q
u
=
g
,
x
∈
∂
Ω (3.5)
3) 混合条件
上面两种条件的组合。
4. 半导体器件数学模型的求解
在研究半导体瞬态问题中，电子位势是椭圆型方程，电子、空穴浓度方程及为温度方程均为抛物型。使用PDE工具箱单独研究其数值解各种边界情况。
4.1. 半导体器件内电子位势变化模型
1) 考虑半导体电导率为
δ，在定常电流下，电子位势V表示的Poisson方程：
−
∇
⋅
(
δ
∇
V
)
=
Q
假如以矩形介质中有两个圆，这两个圆均由半导体组成，其中一个保持电位为1，另一个为−1，电导率
δ
=
1 矩形为边界满足Neumann条件
∂
V
∂
n
=
0，在使用PDE工具箱求解中，选择方程类型为椭圆型，取
c
=
1
,
f
=
0
,
a
=
0，外边界为Neumann条件
g
=
q
=
0，内边界均为Dirichlet条件，左圆取
h
=
r
=
1，右圆取
h
=
1
,
r
=
−
1，求解如图1所示。
Figure 1. Electron potential change model (1)
图1. 电子位势变化模型(1)
2) 假如一块圆形半导体器件中心挖去一正方形，外边界满足Neumann条件，内边界满足Dirichlet条件，考虑从
−
x 方向电流流入的电子位势方程定解问题模型下：
Δ
r
+
k
2
=
0
r
=
−
e
−
i
k
x (外边界条件)
∂
r
∂
n
=
−
i
k (内边界条件)
其中
k
=
60
,
λ
=
0.1，求解时外边界选Neumann条件，
q
=
−
60
i
,
g
=
0，内边界选Dirichlet条件，
h
=
1
,
r
=
−
π
−
60
i
x，选择方程类型为椭圆型并取
c
=
1
,
a
=
−
3600
,
f
=
0，剖分网格求解如图2所示：
Figure 2. Electron potential change model (2)
图2. 电子位势变化模型(2)
4.2. 半导体器件最小曲面的研究
半导体最小曲面的数学模型如下：
−
∇
(
1
1
+
|
∇
u
|
2
∇
u
)
=
0
,
Ω
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
≤
1
}
.
边界：
u
=
x
2
求解时，边界选择Dirichlet条件，
h
=
1
,
r
=
x
2，选择方程类型为椭圆型剖分并求解，求解时在Solve Parameters选项中选用Use nonlinear solver (使用非线性求解器)得到图3数值解：
Figure 3. Numerical solution of minimal surface
图3. 最小曲面数值解
4.3. 半导体器件的热传导问题
1) 假设一长为L的匀质半导体柱形器件，其一端初始温度为20℃，一端与100℃恒温热源接触，其侧面与周围绝热的数值模型如下，讨论温度分布及热流变化情况。
∂
u
∂
t
=
a
∂
2
u
∂
x
2
,
0
≤
x
≤
1
,
t
>
0
u
(
x
,
0
)
=
20
u
(
0
,
t
)
=
0
,
u
(
l
,
t
)
=
100
,
a
=
k
c
ρ
热传导系数
k
=
48.6
/
(
m
⋅
˚
C
)，比热容
c
=
500
J
/
(
kg
⋅
˚
C
)，
ρ
=
7800
kg
/
m
3，求解时方程类型选择抛物型并取
d
=
500
×
7800
,
c
=
48.6
,
a
=
f
=
0，左右边界均为Dirichlet条件，左边界
h
=
1
,
r
=
0，右边界
h
=
1
,
r
=
100 得到数值解如下图4(a)~(c)。
(a)
(b)
(c)
Figure 4. (a) Heat conduction model at t = 25; (b) at t = 100; (c) at t = 500
图4. (a) t = 25热传导模型；(b) t = 100热传导模型；(c) t = 500热传导模型
由以上可以看出，在t为25时，其两端温度差别大，中间温度差别较小，当t为100时，其不同位置的温度差异缩小，但温度分布仍未曲面，当t为越来越大时，温度分布变成平面并不在随时间变化，说明温度分布达到稳定梯度。
2) 环境向半导体内部的热量传递也为抛物型模型，数学模型为：
ρ
C
∂
T
∂
t
−
∇
⋅
(
k
∇
T
)
=
Q
+
h
⋅
(
T
e
x
t
−
T
)
假设一个方形区域，导热系数为10，密度为2，在其中有一菱形半导体热源为4，导热系数为2，密度为1，两者的比热容为0.1。用PDE工具箱求解时选择Heat Transfer(热传导)模型并选择方程类型为抛物型并在对应区域输入相应密度，比热容，导热系数等，所有边界条件选择Dirchlet，求得0.1时刻的温度T的分布如图5。
Figure 5. Heat conduction model (2)
图5. 热传导模型(2)
4.4. 半导体器件电子浓度变化模型
一个带圆形孔的板状半导体器件的电子浓度变化问题，其左边保持浓度为100，电子从右边向环境空气定常流动，其他边及内孔边缘保持绝缘，初始
t
=
t
0 的浓度为0，可以看做以下定解问题
∂
u
∂
t
−
Δ
u
=
0
u
=
100(左边界条件)
∂
u
∂
n
=
−
1(右边界条件)
∂
u
∂
n
=
0(其他边界条件)
u
|
t
=
t
0
=
0.
求解时方程类型选择抛物型，并取
d
=
c
=
1
,
a
=
f
=
0，其中左边界为Dirchlet条件
h
=
1
,
r
=
100，右边界Neumann条件
g
=
−
1
,
q
=
0，其他边界
g
=
q
=
0，得到数值解如图6(a)、图6(b)所示。
(a)
(b)
Figure 6. (a) Electron potential change 2D graph; (b) Electron potential change 3D graph
图6. (a) 电子浓度变化平面图；(b) 电子浓度变化三维图
5. 结论
论文通过对半导体器件的数学模型问题的研究，结合半导体器件中的电子位势变化、电子浓度变化、温度变化、最小曲面等数学模型，使用Matlab PDE工具箱对其模拟计算，得到电子位势、电子浓度的变化图像、温度场的分布图像和最小曲面的数值结果。研究发现通过PDE工具箱计算不仅方便快捷，而且强大的图形可视化功能使计算结果更加形象。
基金项目
中国石油大学(北京)青年骨干教师项目资助。
NOTES
*通讯作者。
