基2时抽8点FFT的matlab实现流程及FFT的内部机理

前言

本来想用verilog描述FFT算法，虽然是8点FFT算法，但是写出来的资源用量及时延迟并不比调用好FFT IP的好，

还是老实调IP了解内部机制，无需重复发明轮子。

参考

流程

FFT这里就不赘述能做什么了，只了解数据的操作流程。

1.FFT基本公式：

乍一看，这个公式一定是脑袋瞬间停机。

2.旋转因子：记住旋转因子具有可约性、对称性和周期性。

通过欧拉公式法，通过欧拉公式转换，本质上是一致的。

Wn=exp(-j*2*k*pi/N) ，N表示FFT点数，k表示几个旋转因素。

Wn = cos(2*pi*k/N) - i*sin(2*pi*k/N)

第二次脑袋瞬间停机。

3.蝶形图：

幸运的是，数学家为了普通人能理解公式，画了一幅帅气的蝴蝶漫画，8点FFT的如下：

不直观，加几条辅助线再看：可见分为三级蝶形运算。

例如，一级蝶形运算结果：x0’=x[0] x[4]*w0,x1’=x[0]-x[4]*w0.以此类推其他节点。

注意-1的位置和旋转因子的位置。注意数据和旋转因子是复数，即蝶形图中的乘法和加减是复数操作。

所谓代码实现，无论代码是什么，本质上都是实现各级公式，从而获得结果。

如果你觉得不清楚，看下图更直观:当然图中标识少-1。

4.数据输入倒序：

从上图左侧可以看到，序列按照了一定的规则进行了倒序，如果按照顺序进行数据输入，肯定是不正确的。十进制可能看不出来，但使其转换为二进制表示就可以知道：

5.Matlab验证算法：

这一步，蝶形结构可以使用matlab语言描述出来了。子进行了2^放大16次，数据两级放大，放大因子需要去除。

x序列为fs=500hz采样下的125hz且有直流分量的8点采样信号。

clc;

clear all;

close all;

%放大了2^16次的系数

w0 = ;

w1 = - *i;

w2 = -*i;

w3 = - - *i;

% w0 = ;

% w1 = 0.7071 - 0.7071*1i;

% w2 = -1i;

% w3 = -0.7071 - 0.7071*1i;

x = ，，，，

%%一级蝶形运算没有放大

x1()=x() x();

x1()=x()-x();

x1()=x() x();

x1()=x()-x();

x1()=x() x();

x1()=x()-x();

x1()=x() x();

x1()=x()-x();

由于系数放大，第二级蝶形运算放大了65536%^，其他部分应相应放大

x2()=x1()* x1()*;

x2()=x1()* x1()*(w2);

x2()=x1()*-x1()*;

x2()=x1()*-x1()*(w2);

x2()=x1()* x1()*;

x2()=x1()* x1()*(w2);

x2()=x1()*-x1()*;

x2()=x1()*-x1()*(w2);

由于系数放大，第三级蝶形运算放大了65536%^，其他部分相应放大

y()=x2()* x2()*;

y()=x2()* x2()*(w1);

y()=x2()* x2()*(w2);

y()=x2()* x2()*(w3);

y()=x2()*-x2()*;

y()=x2()*-x2()*(w1);

y()=x2()*-x2()*(w2);

y()=x2()*-x2()*(w3);

% plot(abs(y/(^))-abs(fft(x)))

figure;

plot(x);

title('x value');

figure;

plot(abs(y/(^)));

title(‘旋转因子放大取整计算结果’)；

figure;

plot(abs(fft(x)));

title('matlab自带fft函数计算结果')；

6.检查劳动成果:可见matlab自带的FFT计算手动蝶形FFT结果是一致的。

7.转成verilog描述无非是实现各级蝶形公式。

注:(1)乘法和加减法为复数运算。

(2)注意各级位宽，避免溢出。

看蝶形图及相关公式，可以看出算法有点复杂。

虽然手敲可以实现，但是FPGA制造商提供了足够的易用性FFT IP core，资源量和计算延迟都很大nice，

所以还是老实用IP吧。哈哈

8.FFT有些性质：

(1)采样速率与点数的关系:

频谱分辨率△f=fs/N。点数和采样速率共同决定FFT的频谱分辨率。

某一点的频率关系：f=k*fs/N。注意FFT直流分量是计算结果的第一点。

(2)栅栏效应及补零处理:

频谱分辨率决定了通过栅栏窗查看真实频谱的真实性。补零可以使离散谱的外观更加光滑，增加序列长度。

(3)FFT变换后的频域模振幅对应关系：

FFT计算出的第0点是直流分量，其模值是直流分量的N倍。需要除以其他位置获得的模值N/2，才是真正的模值。

第0点:模值//N

其他频率点:模值/(N/2)

(4)频域幅度及相位计算:

某点(im,re)范围信息如下：sqrt(im^2 re^2)即实部平方加虚部平方开根号。

相位为：atan(im/re)，反三角计算，即本频谱时域的初相。

以上。

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