多项式芝士总结

欧拉公式：$e^{xi}=cosxisinx$

当x取2π的时候 有

$e^{\pi i}=cos2\pi isin2\pi =1$

所以对于$x^n=1$

$x$ 可能的一个解是 $\frac{e^{2\pi i}}{n}$

$w_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$

那么解集是$w_n^k|k\in [0,n)$ (证明考虑欧拉公式） 别忘了是n次方，之所以范围是[0,n) 是因为等于n的时候 可以整体减去2π 答案不变

$w_n^n=1$

有以下性质：

① $w_n^k$是互异的，保证用于插值的个数是对的

② $w_{2n}^{2k}=w_n^k$ (一分两半值不变 可以分治)

③ $w_n^{\frac{n}{2}+k}=-w_n^k$ （直角坐标系上单位圆） （前半可以推后半）

以上都是在fft求点值的过程中用的 最后还需要从点值变回系数

④ $k\ne 0,\sum _{i=0}^{n-1}(w_n^k{)}^i=0$ (感性理解 奇数次数和偶数次数相同)

两个复数相乘，模等于两个模相乘，辅角相加

具体来说 例如两个模是$\sqrt{a^2+b^2}$ $\sqrt{c^2+d^2}$

那么新的模式$\sqrt{a^2+b^2}\times \sqrt{c^2+d^2}$

逆矩阵里是取倒数

之所以FFT时 ab数组是对应位置相乘 原因在于 本质上ab相乘对应卷积没有实际含义，只是为了求逆的方便，因此对应位置相乘

写代码的时候之所以写的是$\pi /mid$ 是因为本来应该是$(2\pi )/(2mid)$ 刚好约一下

NTT的时候 则$g_n^k=x^{k(p-1)/n}$,其中 n是长度，k是幂 p是质数，x是p的一个原根

NTT常用质数：998244353,469762049,1004535809 原根都是3

我破防了 电脑被人关了 往下写了一千字都没了 我谢谢你

以及 csdn ctrl S完全没用是吧 哈哈

想润every day

多项式开根

证明

当 $a[0]!=1$ 的时候需要用二次剩余求出最后一个数

一句话总结

$G(x)=\frac{F(x)+H^2(x)}{2H(x)}$

多项式相加直接对应系数相加就好

注意$G(x)+1$ 是把$G(x)$ 的常数位置+1，不是所有项都+1

多项式全家桶

牛顿迭代

$$G(x)=G_{\ast }(x)-\frac{F(G_{\ast }(x))}{F^{\prime }(G_{\ast }(x))}$$

复合函数求导的链式法则

$$(F(G(x)){)}^{\prime }=F^{\prime }(G(x))G(x)$$

$F(G(x){)}^{\prime }$ 是对整个复合函数求导 自变量是$x$

$F^{\prime }(G(x))$ 则相当于是对$F(x)$ 求了个导之后把 $G(x)$ 代了进去

差卷积

对于 $G[k]=\sum _{i=k}^n\frac{(-1{)}^{(i-k)}}{(i-k)!}F[i]$

即 $G[k]=A[i-k]B[i]$

我们发现 $k$ 这个位置会受到 $2i-k$ 的贡献

如果我们反一下

令 $B^{\prime }[i]=B[n-i]$

那么 将$A(x),B^{\prime }(x)$ 做卷积

$n-i_1+i_2$ 会相当于原序列 B [ i 1 ] ∗ A [ i 2 ] B[i_1]*A[i_2] B[i1