??在解决实际问题的时候，多变量问题是经常会遇到的，变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性。同时，在许多实际问题中，多个变量有一定的相关性。因此，在研究各变量之间关系的基础上， 用更少的新变量代替更多的原始变量，并尽可能多地保留更多的原始变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的。

??PCA(Principal Components Analysis,，主要成分分析)是一种统计分析方法，将多个变量化为少数综合指标。从数学的角度来看，这是一种降维处理技术。 以下示例说明其原理，并添加以下数据：

以上数据可视为椭圆形，椭圆有长轴和短轴。 在短轴方向上， 在极端情况下，在极端情况下，如果短轴稍微退化， 这些点的变化只能在长轴的方向上解释。这样，从二维到一维的降维自然就完成了。 从数据波动的角度来看，短轴上数据的方差较小，因此轴上的信息属于次信息；长轴上数据的方差较大，因此轴上的信息属于主信息。了解 PCA 在基本原理之后，我们必须考虑一个问题，PCA 优化的目标是什么？请看下图：

我们将上图中的点投影到两个超平面上，分别得到不同超平面的方差：0.045，0.因此，所有样本点都投影到方差 0.206 的超平面能在实现降维的目标且保留更多的信息。因此 PCA 要尽可能分离所有样本的投影，即找到样本投影后方差最大的超平面来降低维度。我们称上述降维标准为 最大可分性；同时，样本点击超平面的距离足够近，即下图中所有红线（即投影造成的损失）加起来最小，即保留更多信息。我们称这个标准为 最近重构性。

??PCA 算法流程的总体描述如下：

输入：样本集 $\mathbf{D}={\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{m}}$； 低维空间维数 $\mathbf{k}$;

过程：

1：对所有样本进行零均值化：${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\leftarrow {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}-\frac{1}{\mathbf{m}}{\sum }_{\mathbf{i}=1}^{\mathbf{m}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$;

2：计算样本的协方差矩阵 $\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}$;

3：对协方差矩阵 $\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}$ 做特征值分解；

4：取最大的 $\mathbf{k}$ 个的特征值所对应的特征向量 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}$;

输出：投影矩阵 $\mathbf{W}=({\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_{\mathbf{k}})$。

下面对每个步骤进行详细分析。

  此步骤的目的是标准化输入数据集，使数据成比例缩小。更确切地说，在使用 PCA 之前必须标准化数据的原因是 PCA 方法对初始变量的方差非常敏感。也就是说，如果初始变量的范围之间存在较大差异，那么范围较大的变量占的比重较大，和较小的变量相比(例如，范围介于 0 和 100 之间的变量较 0 到 1 之间的变量会占较大比重)，这将导致主成分的偏差。通过将数据转换为同样的比例可以防止这个问题。在实现过程中，我们的操作区别于标准的标准化，我们只将每个样本减去它们的均值。

  此步骤的目的是了解输入数据集的变量相对于彼此平均值变化，换句话说，查看它们是否存在关系。因为有时候变量由于高度相关，这样就会包含冗余信息。因此，为了识别变量的相关性，我们计算协方差矩阵。下面以二维矩阵为例：
$$C=\left[\begin{array}{ccc}Cov(x,x)& Cov(x,y)& Cov(x,z)\\ Cov(y,x)& Cov(y,y)& Cov(y,z)\\ Cov(z,x)& Cov(z,y)& Cov(z,z)\end{array}\right]$$
上述矩阵中，对角线上分别是特征 $x,y,z$ 的方差，非对角线上是协方差。由于协方差是可交换的 $Cov(a,b)=Cov(b,a)$，协方差矩阵关于主对角线是对称的，这意味着上三角部分和下三角部分相等。协方差矩阵可以告诉我们变量之间的关系，总结有如下三点：

• 如果协方差为正则：两个变量一起增加或减少(正相关)；
• 如果协方差为负则：两个变量其中一个增加，另一个减少(负相关)；
• 协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。

  求协方差矩阵 $C$ 的特征值 $\lambda$ 和相对应的特征向量 $u$ (每一个特征值对应一个特征向量)：
$$Cu=\lambda u$$
特征值 $\lambda$ 会有 $N$ 个，每一个 $\lambda$ 对应一个特征向量 $u$，将特征值 $\lambda$ 按照从大到小的顺序排序，选择最大的前 $K$ 个，并将其相对应的 $K$ 个特征向量拿出来，我们会得到一组 $\{({\lambda }_1,u_1),({\lambda }_2,u_2),\cdots ,({\lambda }_k,u_k)\}$。为什么只取特征值较大的特征向量，因为较大特征值对应的特征向量保留了原始数据的大部分信息吗，也即方差较大，可作为数据的主成分。

  选取最大的前 $K$ 个特征值和相对应的特征向量，并进行投影的过程，就是降维的过程。对于每个样本 $X_i$，原始的特征是 $(x_1,x_2,\cdots ,x_m)$，投影之后的新特征是 $(y_1,y_2,\cdots ,y_k)$，计算过程如下：
$$\left[\begin{array}{c}{y}_1^i\\ y_2^i\\ ⋮\\ y_k^i\end{array}\right]=[\begin{array}{c}{u}_1^T\cdot (x_1^i,x_2^i,\cdots ,x_m^i{)}^T\\ u_2^T\cdot (x_1^i,x_2^i,\cdots ,x_m\end{array}$$