机器人学基础–左乘和右乘

有坐标系{A}，坐标系{A}改变齐次坐标，得到{B}，此时变换矩阵 $T_B^A$；坐标系{B}再次改变坐标，得到{C}， 此时变换矩阵为 $T_C^A=T_C^B{T}_B^A$ 时称为左乘，为 $T_C^A=T_B^A{T}_C^B$ 时称为右乘。

坐标系{A}中的一矢量 $p$，记此时 $p$ 为 $p_0$（$p_0$ 与坐标系{A}固连）；$p_0$经过坐标系{A}的变换得到坐标系{B}后，相应的得到一个新位置，记此时 $p$ 为 $p_1$（$p_1$ 与坐标系{B}固连，注意 $p_1$ 在坐标系{B}中的坐标值就是 $p_0$）；$p_1$经过坐标系{B}的变换得到坐标系{C}后，也相应的得到一个新位置，记此时 $p$ 为 $p_2$（$p_2$ 与坐标系{B}固连，注意 $p_2$ 在坐标系{B}中的坐标值也是 $p_0$）。

变换矩阵 $T_B^A$ 的含义是坐标系{A}变换到坐标系{B}的变换矩阵（并没有提到变换的方式），但这里有一个问题（左乘和右乘区别的来源）：$T_B^A$ 是怎么计算的？——$T_B^A=\left[\begin{array}{cc}{R}_B^A& P_{B_o}^A\\ 0& 1\end{array}\right]$，其中的 $R_B^A$ 与 $P_{B_o}^A$ 的计算直接导致了左乘和右乘。

以旋转矩阵为例，在坐标系{B}变换到坐标系{C}的过程中，$R_B^A=Rot(x,\theta )$ 中 $x$ 的来源（坐标系{A}？坐标系{B}?）

现给出 $p_1=Rot(x,\theta )p_0$（没有进行平移变换），其中 x 轴是指坐标系{A}中的 x 轴。

注意上式中各个变量的意义：

• $p_1$：矢量 $p$ 变换后的坐标
• $p_0$：矢量 $p$ 变换前的坐标（原坐标）
• $Rot(x,\theta )$：以矢量 $p_0$（原坐标）所在的坐标系的轴为旋转轴进行旋转（角度为 $\theta$）

也就是说 $T_B^A$ 的基准坐标系是 坐标系{A}（原坐标系）

1. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{A}

变换前 $p$ 在{A}中的坐标为 $p_1$，变换后 $p$ 在{A}中的坐标为 $p_2$，得到

$p_2=T_C^B{p}_1$

因此有

$p_2=T_C^A{p}_1=T_C^B(T_B^A{p}_0)=T_C^B{T}_B^A{p}_0$
==> $T_C^A=T_C^B{T}_B^A$（左乘）

2. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{B}

变换前 $p$ 在{B}中的坐标为 $p_1^B$，变换后 $p$ 在{B}中的坐标为 $p_2^B$，得到

$p_2^B=T_C^B{p}_1^B$