Matlab 求解金属槽槽内电位分布 - 副本.doc

Matlab 金属槽内电位分布 - 副本

Matlab 金属槽内电位分布

摘要

运用有限差分法将场域离散为许多小网格，将求解连续函数?的泊松方程的问题换为求解网格节点上?的差分方程组的问题。用matlab计算槽内电位分布的结果。有限差分法的可行性通过数值解和精确解的比较来验证。

关键词：有限差分法； Matlab；金属槽内电位

Solving the metal slots potential with Matlab

Abstract: Using the finite difference method FDM field is discreted into many small grid, transform ing the problem solving poisson equation with continuous function ? for solving the differential equations of grid node ?. We use Matlab program to calculate the potential distribution in slot results. The values got from these two methods are compared, which would be a validation of the feasibility of the Finite Difference Method.

1 引言

如图1所示，尺寸为a×a正方形金属导体槽的三面接地，上面有一个致密但绝缘的金属盖板，其电位和槽内电位的分布。这是二维静态场的边缘值。在直角坐标系中，接地导体矩形槽中的电位函数p满足拉普拉斯方程。

图1 方形金属槽

边界条件满足第一类边界条件

因此，我们可以找出矩形导体槽中电位的分布值。

金属槽内场域D用正方形网格粗略划分，网格节点分布如图2所示h a/4，各侧节点数为L 1 5.

图2 网格划分

2 求解

2.1数值解求解过程

由于本文采用了超松弛迭代法的差异方程，现给出了公式(2.1)

进行迭代，因为满足拉普拉斯方程故 f 0.对于长于正方形的第一类边值，最佳值可以选择

,(2.2)

故本文中 1.17.槽内电位初始值设置为0，规定每个网格内点相邻两次迭代的近似值小于。

以上讨论可编写以下程序作为参考：

%May 27th myarmy %Numerical results for Metal slot potential

clear

clc

L 4; %L为分的段数

for i 2:L 1 for j 1:L 1 d1 i,j 0; end

end

d1 1,L 1 0;d1 L 1,L 1 0;

d1 1,2:L 100;

d2 d1;

w 2/ 1 sin pi/L ;

wc 1;k 0;t 0;

while wc 1e-6 k k 1;

for i 2:L for j 2:L d2 i,j d1 i,j d1 i 1,j d1 i,j 1 d2 i-1,j d2 i,j-1 -4*d1 i,j *w/4 采用超松弛迭代法 t abs d2 i,j -d1 i,j ; if t wc wc t; end end

end

d1 d2;

end，迭代11次后的值解为

2.2 精确的求解过程

已知槽内电位分布可通过如下式子得出解析解

(方形区域，x、y方向长度为a；上边界的电位为 ，其他三个边界电位为0。

如图3所示，计算槽内电位。

图3 网格节点示意图

对于本文中的方形槽，假设a 0.8,N 101.解析可以通过以下程序计算

%analytical solution for Metal slot potential

clc

clear

i 1;n 1;a 0.8;

bb [0 0 0 0 0 0 0 0 0];

for x 0.2:0.2:0.6 for y 0.2:0.2:0.6 for n 1:2:101 bb i bb i 4*100*sinh n*pi*y/a / n*pi*sinh n*pi *sin n*pi*x/a ; end i i 1; end

end

b reshape bb,3,3 ;

b2 flipud b

对上述结果进行分析下解决方案：

3 结果与讨论

本文讨论了第一类边界条件下每个节点的电位数值解，并通过分析方程决了模型的精确解决方案。

x值y的值超松弛迭代解析.20.27.1429 6.79725.08591