SSA时间序列分解

Step1:根据原始时间序列构建轨迹矩阵$X$

Step2:分解矩阵X的奇异值：$X={\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i{U}_i{V}_i^T$

Step三、按奇异值生成$r$个子矩阵:$X_i={\sigma }_i{U}_i{V}_i^T$

Step4:根据某一分组原则将子矩阵$X_i$分为$m$个组

Step5:对子矩阵$X_i$进行对角均值化处理得到子序列$\widetilde{F_i}$

Step6:对$m$个组中的子序列相加得到分组子序列。

输入：原始时间序列$y$，窗口长度$L(2\le L\le N/2)$，$N=len(y)$
$$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cccccc}{y}_1& y_2& y_3& y_4& \dots & y_{N-L+1}\\ y_2& y_3& y_4& y_5& \dots & y_{N-L+2}\\ y_3& y_4& y_5& y_6& \dots & y_{N-L+3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_L& y_{L+1}& y_{L+2}& y_{L+3}& \dots & y_N\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
显然矩阵$X$是一个汉克尔矩阵（每一条副对角线的元素都相等），矩阵的行数为窗口长度$L$，矩阵的列数为$N-L+1$。

$$X=U\Sigma V^T\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中：

• $U$：$L\times L$酉矩阵

• $\Sigma$：$L\times K$对角阵

• $V$：$K\times K$酉矩阵

奇异值分解将轨迹矩阵$X$分解为酉矩阵$U$，对角阵$\Sigma$和酉矩阵$V$的线性组合。这意味着：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{X}& =\sum _{i=1}^r{\sigma }_i{U}_i{V}_i^{\text{T}}\\ & =\sum _{i=1}^r{\mathbf{X}}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

$r$表示矩阵$X$的非零特征根数也即矩阵的秩。

不妨设根据某一分组原则将子矩阵分为了trend、periodic、noise 3组，对应地矩阵$X$分解得到的子序列将被组合为3部分。
$$\begin{array}{rl}{\tilde{\mathbf{X}}}^{\text{(trend)}}& =\sum _{t\in trend}{\tilde{\mathbf{X}}}_t\\ {\tilde{\mathbf{X}}}^{\text{(periodic)}}& =\sum _{p\in periodic}\tilde{\mathbf{X}}\\ {\tilde{\mathbf{X}}}^{\text{(noise)}}& \end{array}$$