---

前言

??奇异谱分析（SSA）它是主要成分分析的一个特例。特别适用于分析一维时间序列。它能有效提取趋势项、周期项、半周期项等有用信息，实现数据的去噪、插值和外推。它是一种应用广泛的时间序列分析方法。SSA总结实现过程：

---

一、SSA(Singular Spectrum Analysis)

??SSA作为一种应用广泛的算法，网上有很多详细的信息可供参考。这里简单总结一下步骤。
(1)构建轨迹矩阵

??选择合适的窗长M，M根据经验选择应在范围内(1)N在/2)内，最好是周期的整数倍，这里N是一维时间序列的长度，构建形式如下:
原始序列： $$X_i=\left[X_1,X_2,X_3,\dots ,X_n\right]$$
轨迹矩阵：$$\begin{gathered} X_{MK}=\left[X_1,X_2,X_3,\dots ,X_K\right] \\ =\left[\begin{array}{cccc}{X}_1& X_2& \dots & X_{N-M+1}\\ X_2& X_3& \dots & X_{N-M+2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ X_M& X_{M+1}& \dots & X_N\end{array}\right] \end{gathered}$$
其中：$$K=N-M+1$$

(2)奇异值分解
  构造矩阵S，然后对S进行SVD分解，获得S的特征值E和特征向量U，E是对角阵要按从大到小的顺序排列。
$$S_{MM}=X_{MK}\ast X_{KM}^T=U_{MM}{E}_{MM}{V}_1$$
  求轨迹矩阵X对应的V值，其中d为X的秩：
$$V_{dm}⟹V_i=X^T\ast U_i/\sqrt{E(i,i)}(i=1,2,\dots ,d)$$
  计算对应的d个初等矩阵，轨迹矩阵可以由d个初等矩阵X_i线性表示：
$$X_{轨迹}=\sum _1^d{X}_i$$
$$X_i=\sqrt{{\lambda }_i}{U}_i/V_i^T{\lambda }_i=\sqrt{E(i,i)}$$

(3)分组重构
  初等矩阵的维度和轨迹矩阵的维度一样，因此可以重构出d个一维矩阵，表示原始一维序列的趋势项、周期项、噪声等信号，从而实现对有用信号的分离。重构原理公式如下：
$$y_i=\{\begin{array}{l}\frac{1}{i}\sum _{M=1}^K{X}_{M,i-M+1}1\le i<M\\ \frac{1}{M}\sum _{M=1}^L{X}_{M,i-M+1}M\le i<K\\ \frac{1}{N-i+1}\sum _{M=i-K+1}^{N-K+1}{X}_{}\end{array}$$