要模拟系统，首先要知道系统的数学模型

常见的数学模型形式：

1. 传递函数模型(系统外部模型)
2. 状态方程模型(系统内部模型)
3. 零极点增益模型
4. 部分模型

上述模型之间有内在联系，可以相互转换

两个条件：

1. 在定量变化或干扰之前，控制量的每个阶段的导数为零，即系统处于平衡状态
2. 在建立动态微分方程的基础时，增量

动态微分方程描述了控制量与给定量或扰动量之间的函数关系。给定量和扰动量可视为系统的输入和输出

拉松转换的作用：将时域转换为复频域，将微分方程转换为代数方程。在反拉斯变化后，获得代数方程的解。

时域变化的拉斯变化定义如下：
$$F(s)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f(t)e^{?u}dt$$
s：由于s是复数，拉斯算子单位也可以表示复频域的变量。

拉普拉斯输入的变化与拉普拉斯输入的变化相比

相关函数：

G(s)=tf(num,den)

[tt,ff]=tfdata(F(s)) 获得传递函数

GG = zpk(G)传函转换为零极点模型

[z,p,k]=zpkdata(G) 提取零极点模型对象的零极点和增益项

pzmap(G) ：绘制零极点图

零极模型实际上是传递函数的另一种表示形式。其原理是分解原系统床底函数分子分母，以获得系统零极表示形式

绘制零极点图：

>> pzmap(G) >> num=[1 4 8]; >> den =[1 11 11 10]; >> G=tf(num,den); >> pzmap(G) 

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不懂

线性时不变系统（LTI）的模型包括传递函数模型、零极点（ZPK）模型和状态空间（state space）模型

三种模型之间转换示意图

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eg:已知传函是G(s)
$$G_{(s)}=\frac{2s^2+9s+1}{s^3+s^2+4s+4}$$
求零极点模型和状态空间模型

>> num=[2,9,1];
>> den=[1,1,4,4];
>> G=tf(num,den);
>> gzpk=zpk(G);
>> [z,p,k]=zpkdata(G)

z = 

    [2x1 double]


p = 

    [3x1 double]


k =

     2

>> gs=ss(G)
 
a = 
       x1  x2  x3
   x1  -1  -2  -2
   x2   2   0   0
   x3   0   1   0
 
 
b = 
       u1
   x1   2
   x2   0
   x3   0
 
 
c = 
         x1    x2    x3
   y1     1  2.25  0.25
 
 
d = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time model.
>> 

eg:已知零极点模型
$$G_{(s)}=\frac{6(s+2)}{(s+1)(s+3)(s+5)}$$
求传递函数和状态方程

>> z=[-2];
>> p=[-1,-3,-5];
>> k=[6];
>> G=zp2tf(z,p,k);
>> [num,den]=zp2tf(z,p,k)

Transfer function:
       6 s + 12
-----------------------
s^3 + 9 s^2 + 23 s + 15

>> [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)

A =

   -1.0000         0         0
    1.0000   -8.0000   -3.8730
         0    3.8730         0


B =

     1
     1
     0


C =

         0         0    1.5492


D =

     0

基本的连接方式有并联，串联，反馈和闭环连接

$$G_{(s)}=G_{1(s)}{G}_{2(s)}$$
eg:

>> z1=[-2];
>> p1=[-1,-3,-5];
>> k1=6;
>> [num1,den1]=zp2tf(z1,p1,k1);
>> z2=[-2.5];
>> p2=[-1,-4];
>> k2=1;
>> [num2,den2]=zp2tf(z2,p2,k2);
>> [num,den]=series(num1,den1,num2,den2)

num =

     0     0     0     6    27    30


den =

     1    14    72   166   167    60

>> G_series=tf(num,den)
 
Transfer function:
             6 s^2 + 27 s + 30
--------------------------------------------
s^5 + 14 s^4 + 72 s^3 + 166 s^2 + 167 s + 60

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-18vq3LqM-1658733066510)(https://raw.githubusercontent.com/yumo2021/PicGo1/main/20220530124905.png)]
$$G_{(s)}=G_{1(s)}+G_{2(s)}$$
eg:

>> z1=[-2];
p1=[-1,-3,-5];
k1=6;
[num1,den1]=zp2tf(z1,p1,k1);
z2=[-2.5];
p2=[-1,-4];
k2=1;
[num2,den2]=zp2tf(z2,p2,k2);
>> [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

num =

         0    1.0000   17.5000   87.5000  156.5000   85.5000


den =

     1    14    72   166   167    60

>> G_p=tf(num,den)
 
Transfer function:
 s^4 + 17.5 s^3 + 87.5 s^2 + 156.5 s + 85.5
--------------------------------------------
s^5 + 14 s^4 + 72 s^3 + 166 s^2 + 167 s + 60

根据反馈的正负号分为正反馈和负反馈

负反馈传递函数：
$$G{H}_{(s)}=\frac{G_{(s)}{H}_{(s)}}{1+G_{(s)}{H}_{(s)}}$$
正反馈传递函数：
$$G{H}_{(s)}=\frac{G_{(s)}{H}_{(s)}}{1-G_{(s)}{H}_{(s)}}$$
eg

>> num1=[1,-1];
den1=[1,-5,-2];
num2=[1,1];
den2=[1,3,2];
[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,1)

num =

     0     1     2    -1    -2


den =

     1    -2   -16   -16    -3

>> G=tf(num,den)
 
Transfer function:
      s^3 + 2 s^2 - s - 2
-------------------------------
s^4 - 2 s^3 - 16 s^2 - 16 s - 3

也叫单位负反馈连接：

传递函数：
$$G{H}_{(s)}=\frac{G_{(s)}}{1+G_{(s)}}$$
eg:

>> num1=[1,-1];
den1=[1,-5,-2];
[num,den]=cloop(num1,den1) %这是负反馈cloop(num1,den1)=cloop(num1,den1，-1)，正反馈是cloop(num1,den1，1)

num =

     0     1    -1


den =

     1    -4    -3

>> G=tf(num,den)
 
Transfer function:
    s - 1
-------------
s^2 - 4 s - 3

暂时不研究
{H_{(s)}} = { { {G_{(s)}}} \over {1 + {G_{(s)}}}}
$$
eg:

>> num1=[1,-1];
den1=[1,-5,-2];
[num,den]=cloop(num1,den1) %这是负反馈cloop(num1,den1)=cloop(num1,den1，-1)，正反馈是cloop(num1,den1，1)

num =

     0     1    -1


den =

     1    -4    -3

>> G=tf(num,den)
 
Transfer function:
    s - 1
-------------
s^2 - 4 s - 3

暂时不研究