您可以在任何包含不确定信息的动态系统中使用卡尔曼滤波器，并对系统的下一个方向做出基本的预测。即使伴随着各种干扰，卡尔曼滤波器也总出真实情况。

在连续变化的系统中使用卡尔曼滤波是非常理想的，它具有占用内存小的优点（除了前一个状态量外，不需要保留其它历史数据），并且速度很快，很适合应用于实时问题和嵌入式系统。

以玩具为例:你开发了一个可以在树林里跑来跑去的小机器人，需要知道它的确切位置才能导航。

我们可以说机器人有一个状态$\overrightarrow{x_k}$，表示位置和速度：
$${\vec{x}}^k=(\vec{p},\vec{v})$$

注意这个状态只是关于这个系统基本属性的一堆数字，它可以是任何其它的东西。在这个例子中是位置和速度，它也可以是一个容器中液体的总量，汽车发动机的温度，用户手指在触摸板上的位置坐标，或者任何你需要跟踪的信号。

这个机器人带有GPS，精度大约为10米，还算不错，但是，它需要将自己的位置精确到10米以内。树林里有很多沟壑和悬崖，如果机器人走错了一步，就有可能掉下悬崖，所以只有GPS是不够的。

或许我们知道一些机器人如何运动的信息：例如，机器人知道发送给电机的指令，知道自己是否在朝一个方向移动并且没有人干预，在下一个状态，机器人很可能朝着相同的方向移动。当然，机器人对自己的运动是一无所知的：它可能受到风吹的影响，轮子方向偏了一点，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，轮子转过的长度并不能精确表示机器人实际行走的距离，预测也不是很完美。

下面我们继续以只有位置和速度这两个状态的简单例子做解释。
$$\vec{x}=\left[\begin{array}{c}p\\ v\end{array}\right]$$

我们并不知道实际的位置和速度，它们之间有很多种可能正确的组合，但其中一些的可能性要大于其它部分：

卡尔曼滤波假设两个变量（位置和速度，在这个例子中）都是随机的，并且服从高斯分布。每个变量都有一个均值 $\mu$，表示随机分布的中心（最可能的状态），以及方差${\sigma }^2$，表示不确定性。

在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着由其中一个变量的状态无法推测出另一个变量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相关的，观测特定位置的可能性取决于当前的速度：

这种情况是有可能发生的，例如，我们基于旧的位置来估计新位置。如果速度过高，我们可能已经移动很远了。如果缓慢移动，则距离不会很远。跟踪这种关系是非常重要的，因为它带给我们更多的信息：其中一个测量值告诉了我们其它变量可能的值，这就是卡尔曼滤波的目的，尽可能地在包含不确定性的测量数据中提取更多信息！
$${\Sigma }_{ij}$$

这种相关性用协方差矩阵来表示，简而言之，矩阵中的每个元素 ${\Sigma }_{ij}$表示第$i$个和第$j$个状态变量之间的相关度。（你可能已经猜到协方差矩阵是一个对称矩阵，这意味着可以任意交换$i$和$j$）。协方差矩阵通常用“$\Sigma$”来表示，其中的元素则表示为“${\Sigma }_{ij}$”。

我们基于高斯分布来建立状态变量，所以在时刻$k$需要两个信息：最佳估计${\hat{x}}_k$（即均值，其它地方常用 $\mu$ 表示），以及协方差矩阵$P_k$。
$${\hat{x}}_k=\left[\begin{array}{c}position\\ velocity\end{array}\right],P_k=\left[\begin{array}{cc}{\Sigma }_{pp}& {\Sigma }_{pv}\\ {\Sigma }_{vp}& {\Sigma }_{vv}\end{array}\right]$$

（当然，在这里我们只用到了位置和速度，实际上这个状态可以包含多个变量，代表任何你想表示的信息）。接下来，我们需要根据当前状态（k-1 时刻）来预测下一状态（k 时刻）。记住，我们并不知道对下一状态的所有预测中哪个是“真实”的，但我们的预测函数并不在乎。它对所有的可能性进行预测，并给出新的高斯分布。

我们可以用矩阵$F_k$来表示这个预测过程：

它将我们原始估计中的每个点都移动到了一个新的预测位置，如果原始估计是正确的话，这个新的预测位置就是系统下一步会移动到的位置。那我们又如何用矩阵来预测下一个时刻的位置和速度呢？下面用一个基本的运动学公式来表示：
$$\begin{gathered} p_k=p_{k-1}+\Delta t{v}_{k-1} \\ {v}_k=v_{k-1} \end{gathered}$$
即，
$${\hat{x}}_k=\left[\begin{array}{cc}1& \Delta t\\ 0& 1\end{array}\right]{\hat{x}}_{k-1}=F_k{\hat{x}}_{k-1}$$

现在，我们有了一个预测矩阵来表示下一时刻的状态，但是，我们仍然不知道怎么更新协方差矩阵。此时，我们需要引入另一个公式，如果我们将分布中的每个点都乘以矩阵 $A$，那么它的协方差矩阵$\Sigma$会怎样变化呢？很简单，下面给出公式：
$$\begin{gathered} Cov(x)=\Sigma \\ Cov(Ax)=A\Sigma A^T \end{gathered}$$
综合以上公式，可得，
$$\begin{gathered} {\hat{x}}_k=F_k{\hat{x}}_{k-1} \\ {P}_k=F_k{P}_{k-1}{F}_k^T \end{gathered}$$

我们并没有捕捉到一切信息，可能存在外部因素会对系统进行控制，带来一些与系统自身状态没有相关性的改变。

以火车的运动状态模型为例，火车司机可能会操纵油门，让火车加速。相同地，在我们机器人这个例子中，导航软件可能会发出一个指令让轮子转向或者停止。如果知道这些额外的信息，我们可以用一个向量${\vec{u}}_k$来表示，将它加到我们的预测方程中做修正。

假设由于油门的设置或控制命令，我们知道了期望的加速度$a$，根据基本的运动学方程可以得到：
$$\begin{gathered} p_k=p_{k-1}+\Delta t{v}_{k-1}+\frac{1}{2}a\Delta t^2 \\ {v}_k=v_{k-1}+a \end{gathered}$$