重心法

重心法(The centre-of-gravity method)

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什么是重心法？

重心法(The centre-of-gravity method)这是一种设置单个工厂或仓库的方法。该方法的主要因素是现有设施之间的距离和货物的运输量，通常用于中间仓库或分销仓库的选择。商品运输量是影响商品运输成本的主要因素。仓库尽可能靠近运量较大的网点，使较大的商品运量走相对较短的路程，即找出该地区实际商品运量的重点。

The centre-of-gravity method is used to find a location which minimizes transportation costs. It is based on the idea that all possible location have value which is the sum of all transportation costs to and from that location. The best location, the one which minimizes costs, is represented by what in a physical analogy would be the weighted centre-of-gravity of all points to and from which goods are transported.

In practice, the optimum location might also be influenced by other factors such as the transportation network. so if the optimum location was at a point with poor access to a suitable road or at some other unsuitable location (in a residential area or the middle of a lake for example) then the location will need to be adjusted.

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重心法计算公式

重心法首先在坐标系中标记每个位置的位置，以确定每个点的相对距离。可以随意建立坐标系。在国际选址中，经常使用经度和纬度来建立坐标。然后，根据坐标系中各点的水平和垂直坐标值，找到成本运输的最低位置坐标X和Y，使用重心法的公式是：

公式中

Cx-- 重心x坐标；

Cy-- 重心y坐标；

Dix--x坐标在第一个地方；

Diy--y坐标在第一个地方；

Vi--从第一个地方或第一个地方运出的货物量。

最后，选择重心点坐标值对应的位置作为布置设施的位置。

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重心法计算的假设条件

重心法是在理想条件下找到的仓库位置，但模型中的假设条件实际上是有限的。重心法计算中简化的假设条件包括以下几个方面：

⑴模型通常假设需求集中在某一点，但实际上需求来自分散在广阔地区的多个消费点。

⑵该模型仅计算运输成本，而不区分不同地点仓库建设所需的资本成本和与不同地点运营相关的其他成本。

⑶运输成本在公式中以线性比例随距离增加，运费由不随运距变化的固定部分和随运距变化的可变部分组成。

⑷仓库与模型中其他网络节点之间的路线通常假设为直线。实际运输所采用的路线应选择。

⑸该模型不考虑未来收入和成本的变化。

从以上假设可以看出，模型有很多限制，但这并不意味着模型没有使用价值。选址模型的结果对事实问题的敏感性很重要。如果假设条件简化，对模型设施选址的建议影响不大或根本不大，可以证明简单模型比复杂模型更有效。

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重点分析法案

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案例一:基于重心法在产品属性最优点选择中的应用

一、引言

在消费市场上，受各种环境因素的影响，不同消费者对同一产品的需求差异很大，形成了不同的消费偏好。具有相似或相似偏好的消费者构成消费者群体，某一产品的消费者市场往往有几个消费者群体。产品属性是影响客户购买行为的重要因素。企业在实施无差异营销策略时，必须将产品属性定位为最佳优势，使产品能够最大限度地满足消费者的需求，即尽量减少所有消费者对产品的不满。在实践中，面对一个有多个消费群体的市场，企业必须找到产品属性的最佳优势，使用相同的产品来满足不同群体消费者的需求，这更经济。重心法是单个设施选址中常用的数学方法。它以运输成本为选址决策的唯一依据，以最小化配送成本为目标，寻找最佳配送中心。现有文献对重心法的应用研究仅限于传统物流选址。尝试将重心法应用于新领域，将产品属性的最佳定位问题转化为配送中心的位置问题，利用重心法确定产品属性的最佳优势，尽量减少所有消费者对产品的不满，为企业提供产品设计开发的选择。

二、建立模型

1.模型假设。基于以下假设建立模型：

(1)属性A和属性B是某一产品的两个关键属性，对消费者的购买行为有决定性的影响。X,Y分别代表消费者对产品属性A和属性B的偏好，所有X和Y组合可以形成连续的二维坐标平面，每个消费者对属性A和属性B的偏好组合可以表示为坐标系X0 Y中的一个点(X,Y),定义为消费者偏好点。

(2)消费者有不同的偏好，对产品属性有相似偏好的消费者构成消费群体，消费市场有不同的消费群体。每个消费群体对属性A和属性B的偏好组合在坐标平面上形成一个点集。

消费者市场有四个消费者集群，形成了四个消费者偏好集群。用最小的圆圈包围每个消费者偏好集的所有点，使每个圆圈代表消费者集群的偏好，并定义为消费者集群的偏好中心(Xi,Yi)。

(3)企业在该消费者市场上采用无差异营销策略,只开发一种产品,该产品的属性对应X0Y坐标平面上唯一的点(X0,Y0)，定义为产品中心。

2.重心法寻找最佳产品中心。由于企业采用无差异营销策略，消费者有差异偏好，消费者必然对企业的产品属性不满意。不同的消费群体对产品属性有不同的偏好，导致不同的消费群体对产品属性有不同的不满。通过一定的方法可以测量各消费者群体的不满，其测量等同于客户满意度的测量。可采用等级法对客户满意度进行分级，将客户满意度分为6级。

六个客户满意度等级:非常不满意、不满意、不满意、更满意、满意、非常满意。它们分别赋值0、20、40、60、80和100。客户满意度分为

,其中

客户评分和代表调查项目，N代表调查产品属性的数量。因此，消费者的不满意度是b=100-CSM,b消费者对产品的不满越大，反之亦然。以某个产品为例，见下表。

某个产品的消费者对测量表不满意

产品属性AB

客户满意度满意

分值6080

消费者不满意b=100-CSM=100[(60 80)/2]=30

上表显示了该产品的调查项目的属性A和属性B,利用公式b=100-CSM消费者对产品的不满是30分。

当企业定位产品属性时，必须找到最佳的产品属性中心，使产品能够最大限度地满足所有消费者的偏好，消费者对产品总是不满意。这个问题已经转化为分销中心的位置，并利用重心法找到最佳的产品属性中心。

消费者集群i偏好中心(Xi,Yi)产品属性中心(X0,Y0)直线距离为。

(1)

假设在其他条件不变的情况下,消费者集群i对产品不满意程度与距离Di线性关系，距离Di消费者群体对产品的不满意度越大，反之亦然。并假设当Di = 0时，消费者群体对产品的不满。在其他条件不变的情况下，单位距离Di代表的不满意度定义为消费者集群i的不满意度Ki。对于消费者集群i,每个消费者的不满意率Ki相等，但不同消费者群体I对应的不满意度Ki不一定相等。不同的消费者群体对产品有不同的需求。当消费者群体对产品不满意时，模型需要引入需求作为影响因素。因此，消费者集群i对产品的需求是Wi,消费者集群i对产品的不满表示为

(2)

在某一产品的消费市场上有n个消费者集群，偏好中心是(Xi,Yi)(i=1,2,...,n),该产品的产品属性中心是(X_0,Y_0)，市场上所有消费者群体对产品的总体不满意度为。

(3)

B最小的最佳产品中心

,则

最佳产品中心

为

。

采用迭代法求出

,迭代步骤如下：

(I)公式(6)和公式(7)Di = 1.获得产品中心的初始点

；

(II)使用型子(1)，型子(3)

总是不满意B0；

(III)把

代入式子(1)、式子(6)、式子(7),计算出产品属性中心改善点

；(IV)计算和使用型子(1)和型子(3)

相应的总不满意程度B'；(V)B1与B0比较：如果B1 < B0,则返回步骤(III),把

代入式子(1)、式子(6)、式子(7),计算出产品属性中心再改善点

；如果

,则说明

就是最优解。这样反复计算,直到

为止,得到

就是最优产品中心

,此时消费者对产品的总不满意程度最小。

在实践中,企业可以在不同情况下利用重心法寻找最优产品中心,对产品属性进行定位,使消费者对产品的总不满意程度最小：

(1)如果某种产品尚未处于设计阶段,企业可以通过市场调查,预测消费者集群数目n,每个消费者集群需求量Wi以及不满意率Ki。当没有充足的资料预测消费者集群不满意率Ki,可以认为所有消费者集群的不满意率Ki相等。企业利用重心法初步求出最优产品属性中心,从而相应地设计开发产品,投入市场测试消费者对产品的反应。通过此方法,企业可以在产品的市场测试阶段,尽量降低消费者对该产品的总不满意程度,初步在消费者市场塑造良好的产品形象。待该产品投入市场一段时间后,重新进行市场调查,反馈测试信息,再相应地根据消费者集群数目n,每个消费者集群i的需求量Wi及相应的不满意率Ki,利用重心法求出最优产品属性中心,改进产品的属性,重新把改进的产品推向市场,最大限度地满足消费者的偏好,使消费者对产品的总不满意程度最小。利用重心法对产品属性进行定位,可以避免新产品属性设计开发工作的盲目性,使产品在市场测试期间更好地塑造良好的产品形象,可作为产品属性改进工作的理论依据。

(2)如果某种产品早已经投入市场销售,由于市场环境变化,消费者集群数目n、需求量W_i、不满意率K_i等发生变化。企业需要根据市场情况,对产品属性进行适当的调整,则可利用重心法找到最优产品属性中心,作为产品属性重新定位工作的理论参考。

三、应用实例

某饮料厂生产汽水,已知该种汽水的柠檬酸浓度和糖精浓度对消费者的购买行为产生决定性影响。经过市场调查,发现消费者对汽水柠檬酸浓度和糖精浓度的偏好组合不同,市场存在5个消费者集群,按每500mL汽水含X单位柠檬酸和Y单位糖精计算,消费者集群偏好中心(Xi,Yi)分别为：(50,45),(30,60),(32,20),(40,30),(20,50)；需求量：W1 = 50,W2 = 80,W3 = 90,W4 = 30,W5 = 75;不满意率：K1 = 2,K2 = 7,K3 = 5,K4 = 4,K5 = 8。

企业采用无差异营销战略销售汽水,则按每500mL汽水含X单位柠檬酸和Y单位糖精的组合标准配制汽水,X、Y各为多少时,汽水才能最大限度地满足各个消费者集群的偏好,使得消费者对该汽水的总不满意程度最小？利用重心法寻找汽水的最优产品属性中心,算法如下：对于式子(6)、式子(7),令D1 = 1求出汽水的产品属性中心初始点

：

用迭代法改善该产品属性中心初始点,据式子(1)得D1 = 21.0576,D2 = 15.9355,D3 = 24.2891,D4 = 17.9055,D5 = 10.7304,因而消费者的总不满意度为：

据式子(1)、式子(6)、式子(7)求出产品属性中心改善点

,得到。(见右)据式子(1)、式子(3),利用

求出Di(Di的计算结果略)与

利用

,因为

,所以初始点(28.9617,44.0984)并非汽水的最优产品属性中心,继续迭代运算。迭代过程不再详述,迭代结果如下表所示。

迭代运算结果表

迭代次数j总不满意度Bj

02896.1744.098430546.7

127.024847.007729276.6

225.846848.602728812.6

325.110449.602728679.3

424.647949.510328679.3

524.343449.576628622.1

624.132449.593428614.0

723.981149.597728607.3

823.870049.599428607.3

923.787249.600728605.9

1023.724649.601928605.2

1123.640449.603028604.7

1223.640449.604028604.4

1323.612249.604828604.3

1423.590349.605528604.2

1523.573449.606028604.1

1623.560249.606428604.1

1723.549949.606828604.0

1823.541849.607128604.0

1923.535549.607328604.0

。

从上表发现,随迭代次数增加,

不断地向汽水的最优产品属性中心调整,消费者的总不满意度不断减少。从迭代次数17开始,消费者的总不满意程度达到最小值28604.0,并保持不变,满足Bk + 1 = Bk。所以迭代到第17次时,开始找到汽水的最优产品属性中心(23.5499,49.6068)。因而该企业生产汽水,按每500mL汽水含23.5499单位柠檬酸和49.6068单位糖精的组合标准配制,消费者的总不满意程度达到最小值28604.0。通过此实例分析,说明基于重心法寻找产品属性最优点的理论方法具有实用意义。

把一个推行无差异营销策略的企业寻找产品属性最优点问题转化为配送中心选址问题,以消费者的总不满意程度最小为决策依据,利用重心法求出产品属性的最优点。通过实例分析,指出该方法具有实用意义。但把只有两种关键属性的产品作为研究对象,至于具有两种以上关键属性的产品属性最优点问题有待进一步研究。

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案例二:重心法在光电信号处理中的应用

一、引言

在国家大型项目LAMOST(Large Sky Area Multi-Object Fiber Spectroscopy Telescope,大天区多目标光纤光谱天文望远镜)预研中,为了标定4000根光纤在焦平面上的位置,采用线阵CCD传感器去扫描从光纤中出来的光斑。要较为精确地得到光斑的位置及其在移动时变动的距离,找出光信号上某一位置稳定点是关健。以线阵CCD采集到的光纤出射光斑中某一截面上的信号为例说明在寻找稳定点中与常用的最大值法和截止电压法相比,重心法具有重复精度高,稳定性好等优点。

二、常用方法

用线阵CCD采集到的光纤出射光斑的某一截面形状如图1所示。N为采样次序,V(N)为与采样次序相对应的电平。

1.最大值法

对于如图1(a)所示信号,找出其最大值A点。

2.截止电压法

如图1(b)所示,用截止电压V=k1Vmax+k2Vmin去截信号,求得N1,N2两点。其中k1=k2=0.5,此时在截止电压V与曲线的交点附近曲线较陡,测量值的变化量较小,测量的稳定性好。取与(N1+N2)/2相对应的点A作为信号的代表点。

三、重心法

重心法是对信号进行面积分,积分区域取与截止电压

相对应点之间的区域,实验显示,当k=0.1时,x值及其12次重复采样的偏差σ与在整个信号积分时相差不大。当k>0.1且不断增加时,x值的不稳定性和偏差σ显著增加。如图1(c)所示,其中第N区域的面矩为

,面积因此采样到的每两个点对应着一个CCD像元,即CCD的每个像元被连续采样两次。即

为VN[(N + 1) − N],求出整个信号的重心NA为。

四、实验装置及原理

实验装置图如图2所示

1—精密水平移动工作台,精度为0.2μm;2—线阵CCD;3—CCD驱动扳;4—放大滤波电路;5—A/D转换及接口板;6—486微机;7—示波器;8—光纤;9—点光源装置,采用卤钨灯作为发光器件。

CCD为光电转换装置,将接收到的空间光强分布转换为随时间变化的电压信号,如图3(a)和图3(b)所示,其转换关系为。

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

　　(5)

如图3(c)所示。

当信号沿图2中x方向移动一段距离时(在本实验中光纤不动,CCD固定在水平移动工作台上并随其一起动):

d = XB − XA = 6.5(NB − NA)　　(6)

如图1(a)所示。

其中fd(=1/Td)为CCD驱动频率;R为光敏单元的几何尺寸。

在本实验中采用的CCD型号为TH7805A,有效感光像元数为2048个,像元尺寸为13μm×13μm,R=13μm,工作时采用的驱动频率为500kHz。

信号处理过程如图4所示。

在实验系统中低通滤波的截止频率为2kHz,高通滤波的截止频率为13Hz。A/D转换器为MAX118C,其采样频率为1MHz。

五、实验结果

表1 三种方法的σ值比较

σ/μm

距离L/mm510

最大值法34.13-84.1892.37-199.68

截止电压法0-5.668.06-32.63

重心法0.46-0.911.37-4.03

表1为当CCD像元表面与光纤端面之间距离L分别约为5.0mm,10.0mm, CCD位置沿图2中x方向水平移动时,通过21次单次测量,每次测量重复采样12次的三种方法的x均方很差值σ。由表1可见,当L=5mm时,重心法的偏差σ最小,在1μm以内,而且随着L的增加,其它两种方法的σ剧增,而重心法的σ变动较小。由此可见,尽管该CCD本身像敏单元的几何分辨力只有13μm,通过重心法可使信号的位置偏差保持在1μm以内。

三种方法的d值比较

在图5中,图5(a)为图2中L约为5.0mm时,水平移动工作台沿x方向每移动2mm,按公式(6)求得d的测量结果。图5(b)为L增加至10.0mm时测量的结果。其中虚线1为最大值法结果,双点划线2为截止电压法结果,实线3为重心法结果。在CCD两端处d值波动较大。

在图5(a)中,用重心法测得的d值在1.990~2.010mm之间,变化在±10μm以内,其中包括水平移动工作台本身的系统误差及读数的偶然误差。随着沿z方向距离的增加,重心法的稳定性显然最好。但重心法也存在缺点,若CCD感受不到完整的信号或所选取的信号积分区域太窄,其误差将显著增加。信号信噪比越高,光信号落在CCD像敏单元上的范围越小,其效果越好。在本实验中,这与CCD与光纤端面之间的距离、光纤的数值孔径、光源的强弱、光源与光纤之间的光耦合等因素有关。

六、分析及结论

从微观上来看,从CCD出来的电信号是一个个幅值不同的脉冲,一个像元对应着一个脉冲,如图2(b)所示。设理想采样,由于每个像元被采样两次,当用最大值法时,采得最大幅值电压脉冲上某点为最大值点,那么在下次或前次采样时,采样点可能同样落在该电压脉冲上。此外存在光响应的非均匀性,在某些像元上缺陷密集而形成暗电流尖峰以及受A/D转换的精度限制。

因此与最大值对应的点就不是唯一的且采样点本身的不确定度为6.5μm。当用截止电压法时,与截止电压相对应的点同样存在以上现象。但由于对选取的两点进行了平均,可以抵消部分不确定度。重心法是对区域信号求面积的矩,然后再在区域内作面积平均,对将近4000个点进行了加权平均,可显著降低每个点对整个信号的影响,有利于消除系统误差,减小随机误差,提高值的稳定性和重复精度。事实上,由于系统本身存在光源电压的波动,CCD光敏单元的不均匀性,CCD中的暗电流和电噪声,电路的温漂等和周围工作环境如杂散光的影响,所以重复采集到的信号总存在着漂移和随机干扰,这就更增加了最大值法和截止电压法的不稳定性。

在LAMOST项目中是针对光纤出射光进行研究的,其在空间呈二维分布,虽然在这里讨论的只是一维方向的问题,但重心法同样可以应用到二维光信号的处理。

重心法还可以推广到对不规则信号及多峰信号进行类似的处理。

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参考文献

↑ 许露.基于重心法在产品属性最优点选择中的应用[J].经济师,2009,(5)

↑ 李静,李为民,陈晓东等.重心法在光电信号处理中的应用[J].光学技术,1999,(2)

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