根据上一篇文章中提到的红包分配算法，我们可以将前三步写为以下分段函数：
此时，我们可以发现第二步和第三步可以合并，因此我们可以暂时将第二步和第三步合并为以下分段函数：

让我们把n作为已知量，a获得以下分段函数作为自变量：

这时，我们可以发现，决定x_up分段函数的最终形式有三个关键点，第一个是100n，第二个是199.99 0.01n，第三个是0.01n(n-1)/n-再加上决定x_down的关键点200n-199.99，我们只需要确定这四个点的大小关系就可以最终确定x_down和x_up分段函数的最终形式。可以使用以下代码来确定。

n=np.arange(3, 100, 1) x_down=200*n-199.99 x_up1=100*n x_up2=0.01*n 199.99 x_up3=0.01*(n-1)*n/(n-2) plt.plot(x_down,label ="x_down") plt.plot(x_up1,label ="x_up1") plt.plot(x_up2,label ="x_up2") plt.plot(x_up3,label ="x_up3") plt.legend() plt.show() 

根据上图，我们可以清楚地看到2000n-199.99>100n>0.01n 199.99>0.01(n-1)*n/(n-2)注意n的值范围大于或等于3。事实上，我们不使用代码，只使用数学来证明上述不等式串的建立。所以我们最终决定了x_up分段函数的形式为：

此外，我们还可以在大多数情况下证明数学，x_up函数值大于x_down函数值，重复函数值。

以下是固定变量法的研究getRedpacket(n,a)，即固定红包数量n，红包总额逐步增加a，代码如下。

以下是固定变量法的研究getRedpacket(n,a) #固定红包数量n，红包总额逐步增加a n=5#固定红包数量 a=1200#红包总额从1元开始逐加a，间隔1 times=200 #getRedpacket()函数是随机的，因此平均值应重复多次  money=np.zeros(a 1) for i in range(1, a 1, 1):
    for j in range(times):
        #print("i:",i," j:",j)
        money[i] = money[i]+getRedpacket(n,i)
        
    money[i]=money[i]*n/i/times
plt.title('固定红包个数，红包总金额与抢到金额的关系折线图(已归一化)')
plt.xlabel('红包总金额')
plt.ylabel('抢到的金额')
plt.plot(money)
plt.show()

此时我们可以发现，在固定红包个数为5个的前提下，红包总金额从1元开始增加到1200元的过程中，抢到的金额并不是稳定的，在1元到500元左右的时候，抢到金额经过归一化稳定在1.0附近，也就是说符合随机情况，但是500元之后开始下降，到900元之后又开始上升，这是怎么回事呢？这就应该看本文第一节所说的x_up和x_down的转折点了。当n=5的时候，x_down分段函数的分界点为800.01，x_up分段函数的分界点为0.07和500，完美符合本图。也就是说，如果你发一个含有5个红包的微信红包，那么在500元之内都是符合随机情况，但是在500到800之间，你抢到的金额反而会低于平均值，但是在800之后又会骤增。

我们将红包个数固定为20，也可以发现这种规律。代码如下。

#下面考虑固定变量法研究getRedpacket(n,a)
#固定红包个数n，逐渐增加红包总金额a
n=20#固定红包个数
a=4100#红包总金额，从1元开始逐渐增加红包总金额a，间隔1
times=200 #getRedpacket()函数具有随机性，因此要重复多次取平均值

money=np.zeros(a+1)
for i in range(1, a+1, 1):
    for j in range(times):
        #print("i:",i," j:",j)
        money[i] = money[i]+getRedpacket(n,i)
        
    money[i]=money[i]*n/i/times
plt.title('固定红包个数，红包总金额与抢到金额的关系折线图(已归一化)')
plt.xlabel('红包总金额')
plt.ylabel('抢到的金额')
plt.plot(money)
plt.show()

含有20个红包的微信红包，总金额在2000之前，你抢到金额的期望值都是符合随机的，但是2000到3800之间期望会下降，3800之后又会上升。也是符合x_down和x_up分段函数的。

接下来我们考虑固定红包总金额a，逐渐增加红包个数n的控制变量法来研究红包分配算法。理论分析有些困难，比如x_up的一个分界点，0.01n(n-1)/n-2=a中解出n的取值，就是解如下的二次方程：0.01n*n-(0.01+a)n+2a=0,结果很复杂，而在实际情况中也能发现，比如我们将红包总金额a固定为10，红包个数逐步增加。代码如下。

#固定红包总金额a，逐渐增加红包个数n
n=100#红包个数，从3个开始逐渐增加红包个数至n，间隔1
a=10#固定红包总金额为a
times=500 #getRedpacket()函数具有随机性，因此要重复多次取平均值

money=np.zeros(n+1)
for i in range(3, n+1, 1):
    for j in range(times):
        #print("i:",i," j:",j)
        money[i] = money[i]+getRedpacket(i,a)
    money[i]=money[i]*i/a/times
plt.title('固定红包总金额，红包个数与抢到金额的关系折线图(已归一化)')
plt.xlabel('红包个数')
plt.ylabel('抢到的金额')
plt.plot(money)
plt.show()

10块钱的红包，分成3个到100个发，似乎都是符合随机的，但是我们把个数增加到1000，如下图所示。情况变得很复杂了。感兴趣的朋友可以自己尝试分析以下为什么会出现下面的情况。

同样，我们固定红包总金额为100，红包个数在3-1000都是较为平缓，如下图所示。

但是当个数增加到10000，就会出现下图的复杂规律现象。在此本人不做探究。

第一节我们使用数学分析探讨了红包总金额、红包个数与抢到金额的关系，第二节我们使用控制变量法讨论完了红包总金额、红包个数与抢到金额的关系，接下来第三节我们能否通过绘制3D图像直观的展现出红包总金额、红包个数与抢到金额的关系呢？答案是不行。我们先绘制红包个数2到100，红包总金额1元到1000元的3D图像。代码如下。

#本代码时间复杂度如何？
n=100#红包个数，从2个到100个，间隔1
a=1000#红包总金额，从1元到1000元，间隔1
times=200 #getRedpacket()函数具有随机性，因此要重复多次取平均值
n_1 = np.arange(2, n, 1)#红包个数，从2个到100个，间隔1
a_1 = np.arange(1, a, 1)#红包总金额，从1元到1000元，间隔1
x,y = np.meshgrid(n_1, a_1)
money=np.zeros(shape=x.shape)
for i in range(1, a, 1):
    for j in range(2, n, 1):
        #print("i:",i," j:",j)
        for k in range(times):
            money[i-1][j-2] = money[i-1][j-2]+getRedpacket(j,i)
        money[i-1][j-2]=money[i-1][j-2]*j/i/times
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
surf=ax.plot_surface(x,y,money, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.viridis)
ax.set_xlabel('红包个数')
ax.set_ylabel('红包总金额')
ax.set_zlabel('抢到的金额')
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
plt.show()

图中我们可以看出，一般情况下抢到的金额是符合随机分配的，但是红包个数太少而红包总金额过多，图像就会出现高峰，即抢到的金额就会暴增；而红包个数太多或红包总金额过少，图像就会出现低谷，即抢到的金额就会骤减。但是无法直观的看出具体分界点。下图为红包个数从2-10个，红包总金额取值范围为1-1000元，也能得出上面的结论。

红包个数从2个到5个，红包总金额从1元到1000元，结果图如下。

红包个数从2个到10个，红包总金额从1元到100元，结果图如下。

遗憾的是，这两篇文章我也只是出于自己的好奇而随便探究一下，并未得出什么有用的结论。也不能给大家提供什么实用的抢红包策略。无论是只考虑单次的红包分配算法，还是和抢红包次序有关的红包分配算法，还是最后的红包接龙玩法，都浅尝辄止。不过也没关系，毕竟强如清华博士毕导也没有我想的周全。