三角函数泰勒级数推导
时间：2022-10-15 16:30:00
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三角函数模拟计算机电路介绍的第一部分
第二部分采用六分仪测量经纬度的三角函数法
第三部分介绍了模拟三角函数计算机公式
函数是常数的条件 推导反三角函数的计算公式
用模拟计算机计算开方，参考拉格郎奇公式中类似公式的推导
计算三角函数公式1
在无限小和无限大的分级中，我们可以得到应用题3)。当角度不太大时，
1-cos ψ=4(1- 1 cos ψ ) (90)
2
2 2 1 1- (sin ψ) 1- 1- (sin ψ) = 4 (1- ) (90)
2
模拟计算机的计算电路由上述公式组成。
计算方程式的解，可见计算方程式的近似解页 根据波查诺-柯西的第一定理，比例法或称弦法
牛顿法则，或切线法则
联合法
以下公式可用于模拟计算机的计算电路
计算三角函数公式2
通过127. 我们得到了类似公式中的例题4)。设置s为弧长，d它对应于它的弦，而δ是对应于半弧的弦(图53)。最后得到关于x,cos x,d,δ四元一次方程组
2 3dx 2
(cos x) =1-( 8δ-d ) (202a)
2
(dδ)
cos x = -1 (202b)
2
2
d 4δ d 2 2 2
( ) ( - ) (1-cos) =δ (202c)
2 3x 6x
d 4δ d 1-cos x 2 4δ d 2
( ) ( - - *6 ) =( - ) (202d)
2 3x 6x 2 3x 6x
计算三角函数的公式3， 最后得到关于x,cos x,d,δ四元一次方程组
2 2 2 d *x
cos x =1- (203a)
16 2 2
f d
3
2 2 2 d d *(f )
4
cos x= -1 (203b)
2
2 d 2 d
( ) f = (203c)
2 2(cos x 1)
(203d) 2 2 2 2 2 4 f 1 d 4 f 1 d d 2 3 4 3 4
( ) cos x * =
2 2 2
x x
计算三角函数公式4，详见戴劳公式125例题
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
-… (-1) o(x )
3! 5! (2m-1)!
tan x=sin x/cos x=
2 4 2m
x x m x 2m 1
1- -… (-1) o(x )
2! 4! (2m)!
m-1 2*2! 2*4! 2*6! (-1) (2m)! (2m)! = - -… ( - m x 3!x 5!x (2m)!x (-1) (2m-1)!x
2 4 2m
x x m x 2m 1
cos x= 1- -… (-1) o(x )
2! 4! (2m)!
3 5 2m-1 x x m-1 x 2m sin x=x- -… (-1) o(x ) 3! 5! (2m-1)!
详细推导初等函数的展开
3 5 2m-1 x x m-1 x 2m sh x=x … (-1) o(x ) 3! 5! (2m-1)!
2 4 2m
x x m x 2m 1
ch x= 1 … (-1) o(x )
2! 4! (2m)!
拉格朗奇插值法计算三角函数，详细推导过程可见计算三角函数的插值法， 例如
ω(x) π sin ( 31°)≈ sin ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
m! π = sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1! 0)) (m-2)) (m-1)] m!]m 6
(m-1)! π = sin( )
[m![(m-1)!((m-2)!(…(1! 0)) (m-2)) (m-1)]m 6
1*2*3…30 π = sin( )
(30！(29！(28！(…1! 1) 28!) 29!) 30!) 31! 6
ω(x) π cos ( 31°)≈ cos ( )
ω`(x )(x-x ) 6
m m
1*2*3…30 π = cos( )
(30！(29！(28！(…1! 1) 28!) 29!) 30!) 31! 6
21 ω(x) 20 e ≈ e
ω`(x )(x-x )
m m
1*2*3…21 20 = e
(20！(19！(…1! 1) 18!) 19!) 20!) 21!
拉格朗奇插值法计算三角函数的带余项，详细推导过程可见计算三角函数的插值法， 例如.
(m 1) π sin ( ) ω(x) π 6 sin ( 31°)≈ * sin( ) w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m 1)!
m m
π
cos ( )
m! π 6
= * sin( ) m!
[m![(m-1)! ((m-2)! (…(1! 0)) (m-2)) (m-1)] m!]m! 6 (m 1)!
π
cos ( )
(m-1)! π 6
= * sin( )+ m!
[(m-1)! ((m-2)! (...(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! 6 (m+1)!
π
cos( )
1*2*3...*29 π 6
= * sin( ) + 30!
30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!
(m+1) π
cos ( )
ω(x) π 6
cos ( 31°)≈ * cos( )+ w(x)
ω`(x )(x-x ) 6 (m+1)!
m m
π
sin( )
1*2*3...*29 π 6
= * sin( ) + 30!
30!(29!(28!(...1!+1)+28!)+29!)+30! 6 31!
20 (m+1)
21 ω(x) 20 (e )
e ≈ * e + w(x)
ω`(x )(x-x ) (m+1)!
m m
20 (m+1)
m! 20 (e )
= *e +
m![(m-1)! ((m-2)! (…(1!+0)) +(m-2)) +(m-1)]+m! (m+1)!
20
1*2*3...*21 20 e
= *e + m!
21!(20!(19!(18!(...1!+1)+18!)+19!)+20!)+21! (m+1)!
计算三角函数的埃尔密特公式插值法，详细推导过程可见计算三角函数的插值法, 例如。
(n)
tg`(60°) tg``(60°) tg (60°)
tg ( 61°)≈tg(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n!
(N)
tg (60°) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
m! 0 1 m
(n)
tg`(π/3) tg``(π/3) tg (π/3)
=tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
tg (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
tg`(π/3) tg``(π/3)
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
tg (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
tg`(π/3) tg``(π/3)
≈tg(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
2
sec (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
(n)
sin`(60°) sin``(60°) sin (60°)
sin ( 61°)≈sin(60°)+ (61°-60°)+ (61°-60°) +… (61°-60°)
1! 2! n!
(N)
sin (60°) n +1 n +1 n +1
0 1 m
+ (x-x ) (x-x ) … (x-x )
m! 0 1 m
(n)
sin`(π/3) sin``(π/3) sin (π/3)
=sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +… (180π/61-π/3)
1! 2! n!
(3)
sin (π/3) π/3 +1 π/3 +1+1 π/3 +1+1+1
+ (180π/61-π/3) (180π/61-π/3) (180π/61-π/3)
3!
sin`(π/3) sin``(π/3)
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
(1)
sin (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
sin`(π/3) sin``(π/3)
≈sin(π/3)+ (180π/61-π/3)+ (180π/61-π/3) +…
1! 2!
cos (π/3) π/3 +1
+ (180π/61-π/3)
1!
推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数, 计算三角函数的近似公式8
设set n=10
2
∞ x
sin x=x*∏ (1- )
n=1 2 2
n π
2
x
2 2 1-
x x n -n 2 2
=x* 2π(1- ) ( 1- ) e n π
2 2 2 2 2
n π n π x
1-
2
π
设set n=10
2
∞ x
sin x=x*∏ (1- )
n=1 2 2
n π
2
x
2 2 1-
x x 10 -10 2 2
=10* 2π(1- ) ( 1- ) e 10 π
2 2 2 2 2
10 π 10 π x
1-
2
π
2
∞ 4x
ch x= ∏ (1+ )
n=1 2 2
(2n-1) π
2
4x
2 2 1+
4x 4x n -n 2 2
= 2π(1+ ) ( 1+ ) e (2n-1) π
2 2 2 2 2
(2n-1) π (2n-1) π 4x
1+
2
π
设set n=10
2
∞ 4x
ch x= ∏ (1+ )
n=1 2 2
(2n-1) π
2
4x
2 2 1+
4x 4x 10 -10 2 2
= 2π(1+ ) ( 1+ ) e 19 π
2 2 2 2 2
19 π 19 π 4x
1+
2
π
2
π√π=
1
1-
1 1 n -n 2
2(1- ) (1- ) e 4n
2 2 1
4n 4n 1-
4
2
∞ 4x
cos x= ∏ (1- )
n=1 2 2
(2n-1) π
2
4x
2 2 1-
4x 4x n -n 2 2
= 2π(1- ) ( 1- ) e (2n-1) π
2 2 2 2 2
(2n-1) π (2n-1) π 4x
1-
2
π
设set n=10
2
∞ 4x
cos x=∏ (1- )
n=1 2 2
(2n-1) π
2
4x
2 2 1-
4x 4 x 10 -10 2 2
= 2π(1- ) ( 1- ) e 19 π
2 2 2 2 2
19 π 19 π 4x
1-
2
π
2
∞ x
sh x=x*∏ (1+ )
n=1 2 2
n π
2
x
2 2 1+
x x n -n 2 2
= x* 2π(1+ ) ( 1+ ) e (2n-1) π
2 2 2 2 2
n π n π x
1+
2
π
设set n=10
2
∞ x
sh x=x*∏ (1+ )
n=1 2 2
n π
2
x
2 2 1+
x x 10 -10 2 2
= 2π(1+ ) ( 1+ ) e 10 π
2 2 2 2 2
10 π 10 π x
1-
2
π
计算开方的模拟计算机电路, 推导过程见三角函数泰勒级数计算电路中的二项式级数
2
2z 1 2z 2 1 2z 4 1 2z 6
1+ ( ) =1+ ( ) - ( ) + ( )-
2 2 2 8 2 16 2
1+ z 1+ z 1+ z 1+ z
5 2z 8 n-1 (2n-3)!! 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
128 2 2n!! 2
1+z 1+z
∞ (2n-3)!! 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2n!! 2
1+z
z,如果｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
其中：
2
2z
1+ ( ) =x
2
1+ z
1
=
2
2z
1+ ( )
2
1+ z
1 2z 2 3 2z 4 5 2z 6
=1- ( ) + ( ) - ( )+
2 2 8 2 16 2
1+ z 1+ z 1+ z
5 2z 8 n-1 (2n-3)!! 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
128 2 2n!! 2
1+z 1+z
∞ (2n-3)!! 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2n!! 2
1+z
z,如果if｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
其中：
2
2z
1+ ( ) =x
2
1+ z
1
=
2
2z
1+ ( )
2
1+ z
2z 2 2z 4 2z 6
=1- ( ) + ( ) - ( )+
2 2 2
1+ z 1+ z 1+ z
2z 8 n 2z 2n-1
- ( ) +…+(-1) ( ) +… (-1≤x≤1)
2 2
1+z 1+z
∞ 2z 2n-1
=∑ ( )
n=1 2
1+z
z,如果if｜z｜≤1
={ 1/z,如果if｜z｜≥1
其中：
2
2z
1+ ( ) =x
2
1+ z
推导可以见级数的计算页, 由数学归纳法可得
a 1 1 n-1 1
=1- + -…+(-1) +…
b a a² a
其中。a>0,b>0,b-a=1
模拟计算机可以调用这个公式计算除法, 由数学归纳法可得
a c/2 1 n-1 1
=1+ + -…+(-1) +…
b a+b a
a
其中。a>0,b>0,b-a=c
由数学归纳法可得
b 1 1 n 1
=1+ - -…+(-1) +…
a b b² a
其中。a>0,b>0,b-a=1
模拟计算机可以调用这个公式计算除法, 由数学归纳法可得
b c/2 c c n-1 1
=1+ - + -…+(-1) +…
a a+b b b² b
其中。a>0,b>0,c>0,b-a=c
推导过程可见无穷级数欧拉常数页
1 1 1
e=1+ + +…+ +…
1! 2! n!
∞
=1+∑
n
=1+ +C+γ
n+1 n
其中C=0.57721566490…
用对数函数计算sinx,cosx的公式。推导过程可见无穷级数欧拉常数页
2n-1
x
sin x=∑ （-1） =log(2/π)*x+(2/π)x0.001+1+C+γ (0
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
x
sin x=∑ （-1） =log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)*0.001+1+C+γ (π/2
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
x
sin x=∑ （-1） =-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)*0.001-1+C+γ (π
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n-1
x
sin x=∑ （-1） =-log(2/π)(2π-x)-(2/π)(2π-x)*0.001-1+C+γ (3π/2
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
x
cos x=∑ （-1） =-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)*0.001+1+C+γ (0
公式(5c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
x
cos x=∑ （-1） =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.001-1+C+γ (π/2
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
x
cos x=∑ （-1） =-log(2/π)(3π/2-x)-(2/π)(3π/2-x)*0.001-1+C+γ (π
公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
2n
x
cos x=∑ （-1） =log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))*0.01-0.01+1+C+γ (3π/2
公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的： C=0.01
计算tgx ,ctgx的公式, 推导过程可见级数的乘法页
tg x=sin x/cos x
(2k)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
=∑(-1) [ ∑ (-1) -
(2k-1)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
2 4 2k
x x x x x k x
=(x- + -…+(-1) +…)[1- + -…+(-1)
3! 5! (2k-1)! 2! 4! (2k)!
2! 4! k (2k)! 2 2! 4! k (2k)!
(1- + -…+(-1) +…) -1*(- )( )(…)(-1)
2 4 2k 2 4 2k
x x x x x x
-…+
2! 4! k (2k)! 2! 4! k (2k)!
1*(- )( )(…*)((-1) )(1- + -…+(-1) +…)
2 4 2k 2 4 2k
x x x x x x
tg x=sin x/cos x
x x
=∑(-1) *∑ (-1) -
(2k-1)! (2k-1)!
(2k)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1)
(2k-1)! (2k-1)! x
∏(-1) ∑ (-1)
1 1 1 1 1 1
=1+(- + )x+( + * + ) x +…-
2! 3! 4! 2! 3! 5!
(2k)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1)
(2k-1)! (2k-1)! x
∏(-1) ∑ (-1)
计算tgx ,ctgx的公式
ctg x=sin x/cos x
(2k-1)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
=∑(-1) [ ∑ (-1) -
(2k)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
3 5 2k-1
x x x x x k-1 x
=(1- + -…+(-1) +…)[1- + -…+(-1)
2! 4! (2k)! 3! 4! (2k-1)!
3! 5! k-1 (2k-1)! 2 3! 5! k-1 (2k-1)!
(x- + -…+(-1) +…) -x*(- )( )(…)(-1)
3 5 2k-1 3 5 2k-1
x x x x x x
-…+
3! 5! k-1 (2k)! 3! 5! k-1 (2k-1)!
x*(- )( )(…*)((-1) )(x- + -…+(-1) +…)
3 5 2k-1 3 5 2k-1
x x x x x x
计算tgx ,ctgx的公式
ctg x=cos x/sin x
2k 2k-1
x x
=∑(-1) *∑ (-1) -
(2k)! (2k-1)!
(2k-1)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1)
(2k)! (2k)! x
∏(-1) ∑ (-1)
1 1 1 1 1 1
=1+(- + )x+( + * + ) x +…-
2! 3! 4! 2! 3! 5!
(2k-1)! ∑ (-1) ( ∑ (-1) ) - ∑(-1) *∏(-1)
(2k-1)! (2k)! x
∏(-1) ∑ (-1)
推导过程见无穷级数欧拉常数页, 计算三角函数tg x,ctg x的公式
(2k)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
∑(-1) [∑ (-1) - ]*
(2k-1)! (2k)!
∏(-1) ∑ (-1)
(2k-1)!
x x (∑ (-1) ) - ∏(-1)
∑(-1) [∑ (-1) - ]=1
(2k)! (2k-1)!
∏(-1) ∑ (-1)
推导见拉格朗奇公式, 可以由下面的式子组成模拟计算机的电路计算幂函数。也可以使用模
计算开方的模拟计算机电路
1/2 1 (1/2)(1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)…(1/2-n+1) n
(1+x) =1+ x+ x +…+ x +…
2 12 12*…n
1 1 2 1 3 5 4 n-1 (2n-3)!! n
1+x =1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
(-1≤x≤1) (23)
与
-1/2 1 (-1/2)(-1/2-1) 2 (1/2)(1/2-1)…(1/2-n+1) n
(1+x) =1- x+ x +…+ x +…
2 12 12*…n
1 1 3 2 5 3 35 4 n-1 (2n-1)!! n
=1+ x- x + x - x +…+(-1) x +…
2 8 16 128 2n!!
1+x (-1 拟计算机用下面的方法计算一个数的开方。 (1+x) =(1+x) =( (1+x) ) (1+x) ≈(1+ *x) (1+1) ≈(1+ *1) 161051 =(1+ ) * (1+ ) =(1+ * ) * (1+ * ) = * ≈ (1+1) ≈(1+ *x) 推导过程见戴劳常数页 arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) arcc tg x=-x+ - -…+ (-1) +o(x ) arc sin x=x- + -…+（-1） +o(x ) 根据戴劳公式（120a） ctg x=x- +o(x )或 ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0 第四部分，泰勒级数推导过程数学流程图 初等函数的展开，推导泰勒公式的前提 最后得到计算三角函数的近似公式8 调用戴劳公式和有限差分法 最后得到计算三角函数的近似公式9 戴劳公式的推导 首先调用拉格郎奇公式 引用单方导数概念 推导出近似公式 莱布尼兹公式的推导 推导任意阶导数的普遍公式 推导莱布尼兹公式 拉格郎奇公式的推导 调用微分是近似公式的来源中的近似公式 增量公式的推导 调用无穷小及无穷大的分级中的无穷小的比较 微分是近似公式的来源中的近似公式的推导 调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小 调用可微性与导数存在之间的关系 最后得到计算函数的近似公式 无穷小及无穷大的分级的推导 先推导无穷小的比较 再推导无穷小的尺度 微分的定义 推导出可微性与导数存在之间的关系 无穷级数欧拉常数 推导出用对数函数计算sinx,cosx的公式 5.如图1所示，h是垂直于三角形斜边的高，它把斜边分成r1,r2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵r1+r2=r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵sinα=h/x ∴ ∴ 6.将⑵代入⑴得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4.在单位圆中，直径是1，也就是上面的斜边是1，所以⑶可以表示为 y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y ) =1 5.用直流电压DCXV，100mA表示X，用直流电压DCYV，100mA表示Y，用加法器，减法器，开方，乘法器，电压跟随器可以表示上式。 f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (3) sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12) cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13) (1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x ) ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x ) arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) arc ctg x=-x+ - +…- (-1) +o(x ) tg x=x+ +o(x ) e =1+x + x + o(x ) e =1+x+ x + x + o(x ) ln cos x =- x - x - x + o(x ) ln(x+ 1+x ) =x- + +o(x ) ln =- x - x - x + o(x ) sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12) cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13) sh x =x+ + +…+ +o(x ) (12) ch x =1+ + +…+ +o(x ) (13) 可设 得 x 2 x =ln(y± y -1 ) 可设 得 x 2 x =ln(y± y +1 ) tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] x+y -x-y x -x y -y x -x y -y arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) (15) π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (16) e=1+ + +…+ +… ln(1+x)=x- + -…+(-1) x +… (-1 (1+x) =1+mx+ x +…+ x +… (-1 n 1 1 k-1 1 第五部分三角函数泰勒级数 的x的乘幂展开的幂级数。 （1） ∽ n 2 n 这种级数跟形如（1）的级数没有本质上的差别，因为用一个简单的变数替换： 它的端点，跟级数（1）的情况一样，可以属于，但也可以不属于区间内。在以后几节中我们要详细地研究幂级数的性质，它们在许多方面都与多项式相似。多项式是幂级数的段（部分和数），这使幂级数成为近似计算的便利工具。由于这个事实， f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (3) 其中余项r (x)可以表示成第124目中所指出的形式中的任一个。 f(x)=f(x )+ 0 (x-x )+ 0 (x-x ) +…+ 0 (x-x ) +r (x) (4) 这种级数-它跟收敛与否及是否具有和数f(x)无关-叫做函数f(x)的泰勒级数。它有（2）的形状，并且它的系数: a =f(x ),a = 0 , a = 0 ,…, a = 0 叫做泰勒级数。因为f(x)与泰勒级数n+1项和数之间的差数，由于（3），恰好是 r (x) 注;这级数通常叫做马克劳任级数，参看第一卷121目和123目的脚注。的情形；这级数具有（1）的形状，系数为: a =f(0),a = , a = ,…, a = (7) 现在更详细地写出合适于这一特别假定： x =0[124]的余项r (x) 拉格朗日形式： (这儿L不依赖于n），则在整个区间上展开式（6）成立。事实上，取拉格朗日形式的余项r (x)[见18]， ｜ r (x) ｜= ｜x｜ ≤L* 像我们在35，1）中见过的，当n无限增加时，表达式 （n+1)! 1+ ∑ 的收敛性推出[361,2)(a)]。但在这样的情形下，r (x)就具有极限0，这就证明了我们的断言。 cos(x+n* ), sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12) cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13) (1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x ) ln(1+x) =x- + -…+ (-1) +o(x ) arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) arcc tg x=- + - -…+ (-1) +o(x ) tg x=x+ +o(x ) e =1+x + x + o(x ) e =1+x+ x + x + o(x ) ln cos x =- x - x - x + o(x ) ln(x+ 1+x ) =x- + +o(x ) ln =- x - x - x + o(x ) sin x =x- + -…+ (-1) +o(x ) (12) cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13) tg x= = + - + -…+(-1) +o(x ) tg x= = + - + -…+(-1) (15b) ctg x= = + - + -…+(-1) +o(x ) ctg x= = - + - -…+(-1) (15c) 它们在任意x值时都成立。 e =1- - -…+(-1) +… 用这方法我们找到; ch x =1+ + -…+ +o(x ) (13) （в）开头所证明的定理就不能用到函数y=arctg x上, 实际上，在116，8）中已求出的这个函数的第n级微商的普遍表达式. y =(n-1)!cos y*sin n(y+π/2) (14) 并不保证所有的y 有共同的界。因为对应的泰勒级数[参看125.6）] x- + -…+ (-1) +r (x) (12) arc tg x=x- + -…+ (-1) +o(x ) (15) arc sin x=x- + -…+ (-1) +o(x ) arc ctg x= - + -…+ (-1) +… 我们再一次强调，虽然arctg x在这区间外具有确定的意义，但展开式（15）在哪儿就是不确定，因为级数没有和数。特别地，当x=1时，从级数（15）可得到著名的莱不尼兹级数. π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (15) π/4=arc tg 1=1- + -…+ (-1) +o(x ) (16) 393.对数级数、司特林公式 x- + -…+ (-1) +… r (x)→0 (当n→∞时) r (x)= (-1) x (1+θx) (0<θ<1) r (x)→0 ln2= 1- + -…+(-1) +… (18) ln =ln(1+x)-(1-x) =x- + -…+(-1) +… -(-x- - -…-(-1) )+… =2x+ + -…+(-1) +… =2x(1+ + -…+ +… ) (19) a =a q a =a q 2m 2(m-1) S = 1 1 (q≠1) ln(1+x)=x- + -…+(-1) +… (17) ln2= 1- + -…+(-1) +… (18) ln = =2x(1+ + -…+ +… ) (19) 作为应用，我们说明，如何借助于这级数可以导出一根很重要的分析公式——司特林（I.Stirling）公式。在上式（19）中取 1+x 2n+1 n+1 n+1 2 1 1 1 1 (n+ ) log = 1+ * + * +… 1+ [ + +…]=1+ 所以，我们有 a = a > a 由此可见，随着n的增大，数串a 递减，大于0，切越来越小，并且趋于有穷极限a， 1 a * e < a < a a = 所以 n!=a√n*( ) * e （0<θ<1) n!=a√n*( ) * e （0<θ<1) ㈢ π 2n!! 2 1 将㈣代入㈢中，在括号中的表达式可用下面的方式加以变形 2n!! (2n!!) 2 (n!) 瓦理斯公式如下 ∫ sin xdx< ∫sin xdx< ∫ sin xdx ㈠ 下面计算积分 J =∫ sin xdx(-cosx)=-sin xcosx +(m-1)∫ sin xcos xdx = -sin x(cos - cos0 ) +(m-1)∫ sin xcos xdx 双重替换变为0.以1-sin x代替cos x，得到 J =(m-1) J -(m-1)J （当m为自然数时） 上面方程式两边同减上J ,得到循环公式 J =∫ sin xdx= * 如果m=2n+1，则 J =∫ sin xdx= 对于J`也恰好得到同样的一些结果, 为了把所得到的表达式写的更简明些，可以利用符号m!!，于是可以写, (注意m!!表示不超过m而又与m有相同的奇偶性的那些自然数的乘积) ∫ sin xdx=∫ cos xdx= { ㈡ ∫ cos sin(m+2)xdx= 2n!! (2n!!) π (2n-2)!! 2n!! 2 1 π 2n!! 2 1 2n!! (2n-1)!! π (2n-2)!! 2n!! 1 π 2n!! 2 1 因为在两极端表达式之间的差 1 2n!! 2 1 π 显然当n→∞时趋于零，所以π/2是它们的公共极限。因此 π 2n!! 2 1 或 π 2244…2n2n 这就是瓦利斯公式。作为第一个把数π表示成容易计算的有理数串的极限的形式，它有着历史上的兴趣。在理论上的研究中下面利用它进行计算。对于数π近视值的计算，现在有快的多的方法达到目的。 n!
μ μ μ
(1+x) ≈(1+0) +f`(1+0) x=1+μx μ*3
μ 3 3 μ*3
1 μ*（μ+1） 1 μ μ+1
≈(1+ *x) =(（1+ *x） )
μ+2 μ+2
1 μ+1
≈(1+ *μx)
μ+2
1 1*10
2 1 2
10 1 1*3
2 1 2
3
3
1 2
=(1+ )
3 3 3
1 4 1 4
3 3 1 3 1 3
3 4 3 4 5 5
4 4 25
16 ≈1.787
1 1*3
2 1 2
3
3
1 2
=(1+ )
3 3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
3 5 2m-1 3 5 2m-1
x x m x 2m
3 5 2m-1 3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=135,6!!=246
注note;5!!=135,6!!=246
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x 2m+1
arc cos x=1- + - -…+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=135,6!!=246
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2 3
x 4
3 3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
计算三角函数调用泰勒公式 说明泰勒级数 引用瓦利斯公式 推导二项式系数
. (注：有限差分法是推导泰勒公式所使用的的方法)
模拟计算机计算开方公式
其次调用增量公式
再调用任意阶导数的普遍公式和莱布尼兹公式
推导出计算三角函数的插值法（模拟计算机用）
推导出计算三角函数的公式4 推导出惠更斯公式 推导出计算三角函数的公式2
推导出插值法
调用数e的近似计算法
推导出契贝塞夫(П.Л.Чебышев)法则 推导出计算三角函数的公式3
推导出插值法 推导出计算三角函数的拉格朗奇插值法
推导出计算三角函数的带余项的拉格朗奇插值法
推导出计算三角函数的埃尔密特公式插值法
引用求导数的简单法则 推导出计算幂函数的近似方法。模拟计算机用
再调用极限理论的推广
再推导等价无穷小 再推导主部的分出 最后的到计算函数的近似公式
调用无穷小及无穷大的分级中的等价无穷小和主部的分出 推导出计算三角函数的公式1
级数的乘法 推导出用sinx,cosx级数计算tgx,ctgx的公式
.
第四部分，泰勒级数数学理论描述
1.上面电路实现的功能是表示任意角度的正弦值。
2.正弦值等于直角三角形的角对应的直角边和斜边的比值。
sinα=y/r
余弦值等于直角三角形的角相邻的直角边和斜边的比值
cosα=x/r
正切值等于直角三角形的角所对的直角边和相邻的直角边的比值
tanα=y/x
正割值等于斜边和直角三角形的角相邻的直角边的比值
secα=r/x
余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值
cscα=r/y
余割值等于直角斜边和直角三角形的角对应的直角边的比值
cscα=r/y
余切值等于直角三角形的角相邻的直角边和所对的直角边的比值
cotα=x/y
3.在直角三角形中，两个直角边x,y的平方和等于斜边的平方
2 2 2
x +y =r
4.所以正弦值可以表示为 2 2
sinα=y/ x +y
h +r1 =y r1 =y -h r1= y -h
h +r2 =x r2 =x -h r2= x -h
∴x +y =(r1+r2) x + y =( y -h + x -h ) (1)
2 2
h/x=y/ x +y
2 2
h/x=y*x/ x +y (2) 图1
x +y = y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y )
r = y -y *x /(x +y ) + x -y *x /(x +y ) (3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
{
2 2
x +y =1 sinα=y, cosα=x, tanα=y/x
6.在上面二元二次方程中，知道x，就会得到y值，知道y，就会得到x值。
7.上面电路中，x值不断变化，它是余弦值，查《数学用表》，可以得到它的余弦角角度。
上面电路中，y值不断变化，它是正弦值，查《数学用表》，可以得到它的正弦角角度。
上面电路中，y/x值不断变化，它是正切值，查《数学用表》，可以得到它的正切角角度。
上面电路中，1/x值不断变化，它是正割值，查《数学用表》，可以得到它的正割角角度。
上面电路中，1/y值不断变化，它是余割值，查《数学用表》，可以得到它的余割角角度。
上面电路中，x/y值不断变化，它是余切值，查《数学用表》，可以得到它的余切角角度。
8.已知一个角的角度，计算这个角的三角函数可以采用微积分里面的泰勒级数。泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开。根据泰勒展开式，可得下面的公式 (n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
0 1! 0 2! 0 n! 0 n
这个展开式描述的一个函数f(x)等于
2 (n)
x x x x n
e =1+ + +…+ + o(x ) (11)
1! 2! n! 3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x m x 2m+1
2! 4! (2m)! m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
12 12…n 2 3 n
x x n-1 x n
2 3 n 3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
3 5 2m-1 3 5 2m-1
x x m x 2m
3 5 2m-1 3
x 4
3 sin x 1 2 3
2 tg x 1 2 1 3 3
2 2! 1 2 1 4 1 6 6
2 12 45 3 5
2 x 3x 5
6 40 sin x 1 2 1 4 1 6 6
x 6 180 2835 3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x m x 2m+1
2! 4! (2m)!
sinh / 双曲正弦：
x -x
e -e
shx=
2
cosh / 双曲余弦：
x -x
e +e
shx=
2 3 2 2m-1
x x x 2m
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x x 2m+1
2! 4! (2m)!
x -x
e + e
y=
2
2x x
e -2y*e +1=0
e =y± y -1 2
x -x
e -e
y=
2
2x x
e -2y*e -1=0
e =y± y +1 2
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = [e^x - e^(-x)]/2
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = [e^x + e^(-x)]/2
tanα= sinα/ cosα ch(x±y)=ch xch y±sh xsh y
secα=1/ cosα sh(x±y)=sh xch y±ch xsh y
cscα=1/ sinα
cotα= cosα/ sinα
e +e e + e e + e e - e e - e
= * + *
2 2 2 2 2 3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
3 5 2m-1 2m-1
1 1 m-1 1 2m
3 5 2m-1 1 1 1
1！ 2！ n! 2 3
x x 1 n+1
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
=1- + -…+(-1) +…
n+1 n n k-1
n
9.对数对应的泰勒级数如下
对数泰勒展开式的推导详细情况可见初等函数的展开
泰勒级数推导。展开函数成幂级数，泰勒级数。
我们已知形如
∽ n 2 n
∑ a x =a +a x+a x +…+a x +…
0 n 0 1 2 n
（注解：也就是说幂函数数列的从0到正无穷的各项之和等于的一次方，二次方直到n次方的和）如果除去“处处发散”的级数，则对每一个这样的级数说来，存在着以点x=0为中心，从-R到R（这儿收敛半径R>0,但也可以是无穷）的收敛区间。这个区间是否包含端点在内，要看情况怎样来决定。
考虑以二项式x-x （代替x）的乘幂展开的更普遍形状的幂级数：
0
∑ a (x-x ) =a +a （x-x ） +a (x-x ) +…+a (x-x ) +…
0 n 0 0 1 0 2 0 n 0
x-x =y（只有变数表示法上的不同）就可把它化成级数（1）。
0
对于级数（2）说来，如果它不是："处处发散"的，也有收敛区间，
但这次中心是点x -R到x +R。
0 0
把预先给定的函数依x-x 的乘幂（特别情形，依x的乘幂）展开的可能性的问题，
0
亦即把函数表示成型（2）或（1）的级数和数形状的可能性问题，就获得很大的重要性。在这儿我们要研究初等函数的如此的展开式，并且在[122-124]戴劳公式及有限差分法中，详细研究过泰勒公式给我们打开一条通向解决所提出的问题的道路。
戴劳公式及有限差分法见戴劳公式推导页介绍
事实上，假定所考虑的函数f(x)在区间[x ,x +H]或x -H,x
0 0 0 0
上具有各级微商。（因而它们都是连续的）。于是像我们在第124目中已经看到的，于是像我们在第124目中已经看到的，对于在这区间上所有的x值，即有公式: (n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
0 1! 0 2! 0 n! 0 n
n
同时我们可以取n任意大，既是，把这展开式进行到x-x 的任意高的乘幂。
0
这就自然地引出无穷展开式的想法： (n)
f`(x ) f``(x ) 2 f (x ) n
0 1! 0 2! 0 n! 0 n (n)
f`(x ) f``(x ) f (x )
0 0 1! 2 2! n n!
n
所以显然；在某一x值时，展开式（4）实际上成立的必要充分条件是，在这个x值时，泰勒公式的余项r (x)随着n的增大而趋于0；
n
lim r (x)=0 (5)
n→∞ n
这等式是否成立，以及在怎样的x值时这等式成立，在研究这些问题时，
依赖于n的余项r (x)的各种形式对我们是有用的。
n
常常要讨论跟x =0与函数f(x)直接依x的乘幂展开成级数
0
(n)
f`(0) f``(0) 2 f (0) n
f(x)=f(0)+ x + x +…+ x (6)
1! 2! 0 n! (n)
f`(0 ) f``(0) f (0)
0 1 1! 2 2! n n!
0 n
(n+1)
f (θx) n+1
r (x)= x (8)
n (n+1)!
歌西形式：
(n+1)
f (θx) n n+1
r (x)= (1-θx) x (9)
n n!
并且，关于因数θ只知道它包含在0与1之间，但它在x或n改变时（甚至在从这一形式换成另一形式时）可以跟着改变。现在将一些具体的展开式。
392、展开指数函数、基本三角函数及其他函数成为级数。首先证明下面的简单定理，它直接包含了一系列的重要情形。如果函数f(x)在区间[0,H]或-H,0上具有各级微商，并且当x在所给区间上变化时，所有这些微商的绝对值受囿于相同一个数：
n
｜f (x)｜≤L (10)
n
由于（10），我们有 (n+1) n+1
｜ f (θx) ｜ n+1 H
n (n+1)! （n+1)!
n+1
H
趋于0；但是，这[由于355，6°]也可以从级数。 n+1
∞ H
n=0 （n+1)!
n
(a)可把这定理应用于在任何区间[-H,H]上的下列函数：
x
f(x)=e ,sin x,cos x
因为它们的微商分别等于
(n) x
f (x)=e ,
π
sin(x+n* ),
2 π
2
x H
并且在这区间上，函数e 的各级微商的绝对值受囿于数e ,
而函sin x与cos x的各级微商的绝对值受囿于1. 因为在125，1）-3）中我们已经计算过这些函数的泰勒系数，所以可以立即写出展开式：
2 (n)
x x x x n
e =1+ + +…+ + o(x ) (11)
1! 2! n! 3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x m x 2m+1
2! 4! (2m)! m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
12 12…n 2 3 n
x x n-1 x n
2 3 n 3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
3 5 2m-1 1 3 5 m 2m-1 2m
x 3 5 2m-1
x x x 3
x 4
3 sin x 1 2 3
2 tg x 1 2 1 3 3
2 2! 1 2 1 4 1 6 6
2 12 45 3 5
2 x 3x 5
6 40 sin x 1 2 1 4 1 6 6
x 6 180 2835 3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x m x 2m+1
2! 4! (2m)! 由数学递推法可得
3 5 2m-1
x x x
sin x 0 x 3! 5! m-1 (2m-1)! 2m
cos x 1 2 4 6 2m
x x x x
2! 4! 6! (2m)! sin x 2! 4! 6! 8! m-1 (2m)!
cos x x 3!x 5!x 7!x (2m-1)! 2 3 5 2m
x x x x
sin x 1 2! 4! 6! m-1 (2m)! 2m
cos x 0 3 5 2m-1
x x x x
3! 5! (2m-1)! cos x x 3!x 5!x 7!x m-1 (2m-1)!x
sin x 2! 4! 6! 8! (2m)!
（б）不难用类似方式得到基本双曲函数的展开式，但更简单的是回忆一下它们的定义：然后用把级数（11）与下面的级数逐项相加或相减的方法引出这些展开式。这级数是在级数（11）中以-x代替x而得到的。 2 (n)
-x x x n x
1! 2! n!
3 5 2m-1
x x x 2m
sh x =x+ + -…+ +o(x ) (12)
3! 5! (2m-1)! 2 4 2m
x x x 2m+1
2! 4! (2m)! (n) n
(n)
3 2 2m-1
x x m-1 x
3 5 2m-1 2m
只在区间[-1,1]上收敛*，所以在这区间外已经用不着说到用这级数来表示函数arctg x。依[366]达郎伯尔判别法容易确信，如果｜x｜<1，级数（绝对）收敛，当x=±1时级数的（非绝对）收敛性可从[369]莱不尼兹定理推出。反之，对于｜x｜≤1，依拉格朗日公式（8）[考虑到（14）]，我们有
n+1
｜cos y *sin(n+1)(y +π/2)｜
θ θ n+1 1
r (x)≤ ｜x｜ ≤
n+1 n+1
其中y =arctg θx
θ
由此显然可知，r (x)→0，
n
于是对于在区间[-1,1]上所有的x值有展开式, 参见[125.6] 3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
3 5 2m-1 3 5 m-1 2m-1
2*x 4*x m-1 2 x 2m
3 5 2m-1
用递推法证明
arcc tg x=1/arctgx
1 1 1
= - 3 + 5 -…+ 2m-1
x x x m-1 x
(-1)
3 5 2m-1 1 3 5 m-1 2m-1
x 3 5 2m-1
x x x 3 5 2m-1
1 1 m-1 1 2m
3 5 2m-1 2m-1
1 1 m-1 1 2m
3 5 2m-1
这是给出数π的展开式的第一个级数。
如果取log(1+x)(x<-1)作为函数f(x)，则对应的泰勒级数是这样的[125.5)]： 3 5 n
x x n-1 x
3 5 n
这级数只对于在区间(-1,1]上的x值收敛*;注：比较上页的脚注；当x=-1时可得到(只要符号上的差别)发散的调和级数。
这就是说，研究余项r (x)的情况仅仅对这些值来说才有意义。
n
首先取拉格朗日形式（8）的余项。因为
(n+1) n n!
f (x)= (-1) +…
n+1
(1+x)
[109.3)]，所以
1 n+1
r (x)= (-1) * x (0<θ<1)
n n+1
n+1 (1+θx)
如果0≤x≤1,则最后的因式不超过1，由此
1
r (x)= ≤
n n+1
于是
n
但是，当x<0时，这个因式的情况不明，因而必须采用歌西余项形式[见（9）]。我们有 n n+1 n
n n+1
(1+θx)
于是
n+1
｜x｜ 1-θ n
｜r (x)｜≤ ( )
n 1-｜x｜ 1+θx
因为当x>-1时，有1+θx>1-θ，所以最后的因式小于1；因而，只要｜x｜<1，就显然有
n
很有趣地，虽然歌西形式完全解决了在-1与1之间的所有x值的问题，但当x=1时，它什么结果也不能给出；因为在这情形下我们得到
n
｜r (1)｜≤(1-θ)
n
但由于θ随n而变的可能性，不能确定
n
(1-θ) →0
所以，总起说来，对于区间（-1，1]上所有的x值，事实上，有
2 3 n
x x n-1 x
ln(1+x)=x- + -…+(-1) +… (17)
2 3 n
特别地，当x=1时就得到我们熟悉的级数 1 1 n-1 1
2 3 n
从级数（17）可以导出另一些有用的展开式。例如，以-x代替其中的x后，从级数（17）中逐项减去所得到的级数（在此我们认定｜x｜<1），就得到下面的级数：1+x
1-x 2 3 n
x x n-1 x
2 3 n 2 3 n
x x n-1 x
2 3 n 3 4 2n
2x 2x n-1 2x
3 5 n 2 4 2m
x x x
3 5 2m+1 (n-m)
n m
m m-1
x x
= q
m m-1 2m
x 2(m-1)+1
q= *
m-1 2(m-1)
x
1 2
q= x
2m-1
a q- a
m q-1 当x>-1时
2 3 n
x x n-1 x
2 3 n
当x=1时 1 1 n-1 1
2 3 n
当｜x｜<1时1+x
1-x 2 4 2m
x x x
3 5 2m+1
1
x=
2n+1
,其中n是任意自然数，得, 因为在这情形下 1
1+
= =
1-x 1 n
1-
2n+1
所以我们得到展开式
log = [1+ * + * +…+] (20)
n 2n+1 2 4
3 (2n+1) 5 (2n+1)
这展开式可以改写成下面的形状：方程左右两边同乘以（2n+1）/ 21 n+1 1 1 1 1
2 n 2 4
3 (2n+1) 5 (2n+1)
这个表达式显然大于1，小于1 1 1 1
3 2 4
(2n+1) (2n+1) 12(n+1)
1 1 1
1<(n+ )log(1+ )<1+
2 n 12n(n+1)
由此，取指数，得到
1 1
n+ 1+
1 2 12n(n+1)
e<(1+ ) < e
n
现在引入数串 n
n! e
n 1
( n+ )
2
n
所以
1
n+
1 2
a (1+ )
n n
=
a
n+1
1
a 1 12n
n 12n(n+1) e
1< < e =
a 1
. n+1 12n(n+1)
e
所以
n n+1
上面不等式两边分子分母相换，得
1 1
- -
12n 12n(n+1)
a * e < a * e
n n
n
1
-
12n
而数串a e 递增，并显示趋于同一极限a
n
-
12n
（因为e →1).因为对任何n，不等式 1
-
12n
n n
成立，所以可以找到包含在0与1之间的这样的数θ，使得
θ θ
-
12n 12n
a=a * e 或 a =a* e
n n
（我们指出，一般来说，数θ依赖于n。）回忆一下变量a 的定义，我们得到
n
因为 n
n!e
1
(n+ )
2
n n θ
n!e 12
=a*e （0<θ<1)
1
(n+ )
2
n
θ
n n 12n
e
根据瓦里斯公式，可得 θ
n n 12n
e
根据瓦里斯公式[305]，上面的公式可以写成下面的形式
= lim [ ] ㈣
2 n→∞ (2n-1)!! 2n+1 2n 2
= =
(2n-1)!! 2n! 2n!
设0
sin xπ π π
2 2n+1 2 2n 2 2n-1
0 0 0
π π
2 m 2 m
J =∫ sin xdx,J` = ∫cos xdx （当m为自然数时）
m 0 m 0
分部积分，得 π π π
2 m-1 m-1 2 2 m-2 2
m 0 0 0 π
m-1 π 2 m-2 2
2 0 2 2
m m-2 m
m
m-1
J = J
m m m-2 以这个公式，积分J 依次地化成J0或J1，即，当m=2n时有
π
2 2n (2n-1)(2n-3)....3*1 π
2n 0 2n*(2n-2)…4*2 2 π
2 2n+1 2n(2n-2)...4*2
2n+1 0 (2n+1)(2n-1)…3*1π π (m-1)!! * π
2 m 2 m m!! 2 当m是偶数时
0 0 (m-1)!! 当m是奇数时
m!!
还可推导出
π
2 m
∫ cos cos(m+2)xdx=0
0 π
2 m 1
0 m+1
把㈡代入㈠式得
< * <
(2n+1)!! 2n! 2 (2n-1)!!
[ ] < < [ ]
(2n+1)!! 2n+1 2 (2n-1)!! 2n
把㈡代入㈠式得
< * <
(2n+1)!! 2n!! 2 (2n-1)!!
[ ] < < [ ]
(2n+1)!! 2n+1 2 (2n-1)!! 2n
[ ] < *
2n(2n-1) (2n-1)!! 2n 2
=lim [ ] ㈣
2 n→∞ (2n-1)!! 2n+1
=lim
2 n→∞ 1335…(2n-1)(2n+1) θ
n n 12n
