新发现：信道矩阵H的右奇异矩阵可以被表征为发送端导向向量的线性组合

我们考虑一个extended-Saleh-Valenzuela信道模型，uniform linear array (ULA)，在理想假设条件下，$\mathbf{H}$由UE没有近场损伤$L$簇(clusters)/确定路径散射，表示：
$$\mathbf{H}=\sqrt{\frac{N_r{N}_t}{L}}\cdot \sum _{l=1}^L{\alpha }_l{\mathbf{u}}_l{\mathbf{v}}_l^H\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中${\alpha }_l$是信道第$l$条径的复增益，${\mathbf{u}}_l\in {\mathbb{C}}^{N_r\times 1}$是第$l$条径在接收端的导向向量(receiver array steering vector)，${\mathbf{v}}_l\in {\mathbb{C}}^{N_t\times 1}$是第$l$条径在发送端的导向向量(transmit array steering vector)，$N_t,N_r$分别为发送天线数和接收天线数。

我们定义
$${\mathbf{u}}_l=[1,e^{jk{d}_R\cos ({\varphi }_{R,l})},\cdots ,e^{j(N_r-1)k{d}_R\cos ({\varphi }_{R,l})}{]}^T\in {\mathbb{C}}^{N_r\times 1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$${\mathbf{v}}_l=[1,e^{jk{d}_T\cos ({\varphi }_{T,l})},\cdots ,e^{j(N_t-1)k{d}_T\cos ({\varphi }_{T,l})}{]}^T\in {\mathbb{C}}^{N_t\times 1}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$k=\frac{2\pi }{\lambda }$是波数(wave number)，$d_T,d_R$分别表示发送和接收端阵列天线间的距离，${\varphi }_{R,l}$理解为第$l$条径的到达角(AOA: Angle of Arrival)，${\varphi }_{T,l}$理解为第$l$条径的出发角(AOD: Angle of Departure)。

定理：若$\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$为式(1)中的信道矩阵，那么${\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_t}$的特征向量(eigenvector)可以被表征为 { v 1 , v 2 , ⋯   , v L } \{ \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_L \} { v1​,v2​,⋯,vL​}（发送端的array steering vector）的线性组合。

证明：事实上，${\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_t}$的特征向量/矩阵等价于矩阵$\mathbf{H}$的右奇异向量/矩阵
L N t N r H H H = ∑ i ∑ j α i ∗ α j ⋅ ( u i H u j ) ⋅ v i v j H = V ˉ A V ˉ H (4) \frac{L}{N_t N_r} \boldsymbol {H}^H \boldsymbol H = \sum_{i} \sum_{j} \alpha_i^{*} \alpha_j \cdot (\boldsymbol u^H_i \boldsymbol u_j) \cdot \boldsymbol v_i \boldsymbol v_j^H = \bar {\boldsymbol V} \boldsymbol A \bar {\boldsymbol V}^H \tag{4} Nt​Nr​L​HHH=i∑​j∑​αi∗​αj​⋅(uiH​uj​)⋅vi​vjH​=VˉAVˉ元器件数据手册、IC替代型号，打造电子元器件IC百科大全！