R、L、C串联和并联的正弦稳态电路

RLC串联交流电路

下图所示式$R$、$L$、$C$(电阻、电感、电容)三个元件串联的交流电路。图中标明了电流和电压的参考方向。

电流作为参考，因为串联电路中的每个元件都流过同一个电路。设置电流为$i=I_{m}sin\omega t $，则$R$、$L$、$C$各部件上的电压为：

$$ u_{R}=I\sqrt{2}sin\omega t $$

$$ u_{L}=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t 90^{\circ} \right ) $$

$$ u_{C}=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t-90^{\circ} \right ) $$

根据基尔霍夫定律，电路总电压等于各部件的电压代数，即：

$$ u=u_{R} u_{L} u_{C} $$

显然，上式中的总电压u是与电流和各元件上电压频率相同的正弦量，可用下式表示：

$$ u=U\sqrt{2}sin\left ( \omega t \varphi \right ) $$

总电压的有效值U和初相电压的有效值U和初相位角$\varphi$，总电压与各部件的电压关系可见一斑。采用相量法分析更方便。

首先，绘制上图a中用相量表示的电路图，如图b所示。图中各部件用相应的电阻、电抗和容抗表示，电流和电压用相量表示，包括：

$$ \dot{U}=\dot{U}_{R} \dot{U}_{L} \dot{U}_{C} $$

并以$ \dot{I} $如图C所示，制作电路相量图作为参考相量。图中三个元件电压对电流的相位关系是$ \dot{U}_{R} $与$ \dot{I} $同相，$ \dot{U}_{L} $超前$ \dot{I} $为90°，$ \dot{U}_{C} $则滞后$ \dot{I} $为90°。合成三个元件的电压相量，获得总电压相量$ \dot{U} $。

总电压的有效值可从相量图中得出：

$$ U=\sqrt{U_{R}^{2} \left ( U_{L}-U_{C} \right )^{2}}=I\sqrt{R^{2} \left ( X_{L}-X_{C} \right )^{2}} $$

总电压超前电流为相位$\varphi$角，记为$\varphi$>0$\varphi$角为正，滞后为负)。

$$ \varphi =arctan\frac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}}=arctan\frac{I\left ( X_{L}-X_{C} \right )}{IR}=arctan=\frac{X_{L}-X_{C}}{R} $$

从上面可以看出，$\varphi$角度是电路的参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$如果电路的参数不同，$\varphi$角便不同。若$X_{L}$=$X_{C}$，则$\varphi$=0，电压$\dot{U}$与电流$\dot{I}$同样，此时的电路可视为电阻电路；如果$X_{L}$＞$X_{C}$，则$\varphi$＞0，电压$\dot{U}$超前$\dot{I}$为$\varphi$角，此时的电路可视为电感电路；如果$X_{L}$＜$X_{C}$，则$\varphi$＜0，电压$\dot{U}$滞后电路$\dot{I}$为$\varphi$此时的电路可视为电容电路。

以下表示图C中总电压与分电压的关系：

$$ \dot{U}=R\dot{I} jX_{C}\dot{I}=\dot{I}\left [ R j\left ( X_{L}-X_{C} \right ) \right ]=\dot{I}\left ( R jX \right )=\dot{I}Z $$

上述类型称为欧姆定律的相量形式。类型中的Z称为复阻抗，单位为Ω。X型称为电抗。上式变换后，得到:

$$Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U\angle \psi _{u}}{I\angle \psi _{i}}=\frac{U}{I}\angle \psi _{u}-\psi _{i}=\left | Z\right |\angle \varphi $$

需要注意的是，Z只是一个复数，它不是时间的正弦函数，也就是说，它不能用相量表示，所以不能在符号Z的顶部添加点。上式中复阻抗模$\left | Z \right |$称为阻抗，总是正值，即$\left | Z \right |$＞0，单位Ω。$\left | Z \right |$与$R$、$X_{L}$、$X_{C}$关系如下：

$$ \left | Z \right |=\sqrt{R^{2} \left ( X_{L} X_{C} \right )^{2}}=\sqrt{R^{2} X^{2}}$$

复阻抗$Z$的幅角$φ$称为阻抗角：

$$\varphi =arctan\frac{X_{L}-X_{C}}{R}=arctan\frac{X}{R}$$

复数可以以各种形式表示，常用的有:

$$Z=\left | Z \right |\angle \varphi =R jX=\left | Z \right |e^{j\varphi }$$

在分析计算交流电路时，复阻抗的代数形式和指数形式可按复数的性质进行互换。$R$、$X$和$|Z|$直三角形之间的关系也被称为阻抗三角形，如右图所示。从阻抗三角形可以看出：

$$R=|Z|cosφ$$

$$X=|Z|sinφ$$

练一练

问题:可用日光电路$R$、$L$如右图所示，两个元件串联的电路表示$R$表示灯管和镇流器的总电阻，$L$表示镇流器的电感，如果电阻$R=340Ω$，电感$L$=1.3$H$，正弦电压$U$=220V，电路中的电流$I$电阻和电感上的电压。

解：电路总电阻$R$=340$Ω$，镇流器的感抗为：

$$X_{L}=\omega L=2\pi \times 50\times 1.3=480\Omega $$

电路总阻抗为：

$$|Z|=\sqrt{R^{2} X^{2}}=\sqrt{340^{2} 480^{2}}=532\Omega $$

电流有效值为：

$$I=\frac{U}{|Z|}=\frac{220}{532}=0.414A$$

电阻$R$上部电压为：

$$U_{R}=IR=0.414\times 340=140.76V$$

电感$L$上部电压为：

$$U_{L}=IX_{L}=0.414\times 408=168.91V$$

由计算可知，在$R$、$L$在串联交流电路中，总电压的有效值$U$不等于各部件上电压的有效值之和，即$U≠U_{R} U_{L}$。

RLC并联交流电路

下图表示相量和复阻抗R、L、C图中标明了并联交流电路的电流和电压参考方向。由于并联支路的电压相同，以电压为参考$u=U_{m}sinωt=U\sqrt{2}sin\omega t$。根据基尔霍夫电流定律，电路总电流为：$i=i_{R} i_{L} i_{C}$。由于并联电路的电源电压和各支路电流的正弦量，总电流应为同频率的正弦量。

$$i=I_{m}sin\left ( \omega t \varphi \right )=I\sqrt{2}sin\left ( \omega t \varphi \right )$$

从上面的公式可以看出，只需要电流的有效值$I$和初相位角$φ$，然后我就知道了。用相量法分析相量图。图a中的电压和电流用相量表示，各元件参数用电阻表示$R$、感抗$jX_{L}$和容抗$-jX_{C}$表示，则$i=i_{R} i_{L} i_{C}$可写成：

$$\dot{I}=\dot{I}_{R} \dot{I}_{L} \dot{I}_{C}$$

以$\dot{U}$作为电路的相量图，如图b所示。图中三个元件电流对电压的相位关系是$\dot{I}_{R}$与$\dot{U}$同相，$\dot{I}_{L}$滞后$\dot{U}$为90°，$\dot{I}_{C}$则超前$\dot{U}$为90°。合成三个元件的电流相量，获得总电流相量$\dot{I}$。总电流的有效值可从相量图中得出：

$$I=\sqrt{I^{2}_{R} \left ( I_{L}-I_{C} \right )^{2}}=U\sqrt{\left ( \frac{1}{R} \right )^{2} \left ( \frac{1}{X_{C}}-\frac{1}{X_{L}} \right )^{2}} $$

在相位上，总电流落后于电压$φ$角，即为$φ＜0$，并有：

$$\varphi =arctan\frac{\frac{1}{X_{C}}-\frac{1}{X_{L}}}{\frac{1}{R}}$$

从上面可以看出，$φ$角是由参数$R$、$X_{L}$和$X_{C}$如果参数不同，$φ$角便不同。若$X_{C}=X_{L}$，则$φ=0$，电压$\dot{U}$与电流$\dot{I}$同样，此时的电路可视为电阻电路；如果$X_{C}＞X_{L}$，则$φ＜0$，电压$\dot{U}$超前电流$\dot{I}φ$此时，电路可视为电感电路；如果$X_{C}＜X_{L}$，则$φ＞0$，电压$\dot{U}$滞后电流$\dot{I}$此时的电路可视为电容电路。

练一练

问题：如右图所示，$R$、$C$并联电路，已知电流有效值$I_{1}=100A，$I_{2}=100A$，试求总电流$i$的有效值。

解：可用相量法求解。以电压做参考量$\dot{U}=U\angle 0^{\circ}V$，各支路电流相量为：

$$\dot{I}_{1}=\frac{\dot{U}}{R}=\frac{U\angle 0^{\circ}}{R}=I_{1}\angle 0^{\circ}=100\angle 0^{\circ}A$$

$$\dot{I}_{2}=\frac{\dot{U}}{-jX_{C}}=\frac{U\angle 0^{\circ}}{X_{C}\angle -90^{\circ}}=I_{2}\angle 90^{\circ}=100\angle 90^{\circ}A$$

总电流相量为：

$$\dot{I}=\dot{I_{1}+\dot{I_{2}}}=100\angle 0^{\circ}+100\angle 90^{\circ}=100\sqrt{2}\angle 45^{\circ}A$$

总电流有效值为：

$$I=100\sqrt{2}=141.4A$$

其实该题可根据图b和前面的公式直接求出总电流有效值为：

$$I=\sqrt{I^{2}_{R}+I^{2}_{C}}=\sqrt{100^{2}+100^{2}}=100\sqrt{2}=141.4A$$