充放电阶段

• 给出二极管整流后的输入电压 $v(t)=\sqrt{2}{V}_{ac}?|cos(2\pi ft)|$

• 整流桥后大电容的作用就是在其输入电压低于电解电压时，给后级电路提供能量的角色。那么固然，这么一段时间$t$保持输入功率$P_{in}$不变的能量来源是电容。

• 定义，电容从峰值$\sqrt{2}{V}_{ac}$放电，经过$t$时间（电网再度给电容充电），放电至$v_{cap}(t)$，根据电容储能关系，可得：$$\frac{1}{2}C[(\sqrt{2}{V}_{ac}{)}^2-v_{cap}^2(t)]=P_{in}t$$ 化简，得：$$v_{cap}(t)=\sqrt{2}\ast \sqrt{V_{ac}-\frac{P_{in}}{C}t}$$

• 现在我们得到了一个电容电压与时间t的关系式，对于电容电压放电至最低值时，是什么样的关系呢？分析此时的瞬时稳态关系
  

• 如图所示，记电容开始放电时间为$t_1=0$，放电至最低电压时间为$t_2$，其对应的瞬时电压分别为$\sqrt{2}{V}_{ac}$、$V_{sag}$，设放电时间为$t_{SAG}$，充电时间为$t_{CON}$.

• 我们已经知道了这两条曲线的方程，根据数学知识，联立方程组不就可以解出交叉点的值了吗？我们试试看：$$\sqrt{2}{V}_{ac}\ast |cos(2\pi ft)|=\sqrt{2}\ast \sqrt{V_{ac}^2-\frac{10^6}{(uF/W)}t}$$

• 这里，我们发现个问题，时间t是未知的，$uF/W$也是未知的。两个未知数只有一个方程，怎么解呢？

• 用到万能的假设啦，我们假设求保证电容不放电，即电容两端电压不变（现实是达不到的）时的$uF/W$，这是个理想值，那么此时电容放电的时间为$$t_2\approx t_{CON},t_2-t_1=\frac{1}{2f}$$

• 化简上面等式，可得：$$cos(2\pi ft)\approx \sqrt{1-\frac{10^6}{2\ast f\ast (uF/W)\ast V_{ac}^2}}=\pm A$$

• 这个平方根始终都有两个解，一正一负。一个解是估算的$t_{SAG}$，对应最低电压$V_{sag}$；一个解是估算的$t_{CON}$。两者之和一定等于半个周期$1/(2f)$. 这里引入A，是方便计算。

• 则有：$$t_{CON}=\frac{arccos(A)}{2\ast \pi \ast f}$$ $$t_{SAG}=\frac{arccos(-A)}{2\ast \pi \ast f}=\frac{1}{2f}-t_{CON}$$ $$A=\sqrt{1-2\ast f\ast (uF/W)\ast V_{ac}^{}}$$

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