这个问题实际上是信号与系统分析课程中第一章关于可逆系统定义的问题。在 第一次作业1.6.2 作为选择题第二题的判断题。

  问题询问：如下RC低通滤波电路系统是否属于可逆系统？

  在信号与系统课程中，对于可逆系统的定义是要求系统不存在两个不同的信号，它们对应系统的输出是相同的。这个定义对于静态系统相对比较同一判断，对于动态系统来讲稍微困难一些。

  对于满足线性时不变特性的系统，由于输入输出之间可以通过变换域内定义的系统函数，往往是一个有理分式，来描述，因此对于判断其逆系统是否存在以及如何构造相对比较容易。下面给出了上面两个系统的逆系统对应的电路进行设计。。

  在信号与系统课程中所定义的系统具有特殊的含义，也就是系统的输出由输入信号决定。反过来，系统的输出无法影响到系统的输入。

  对于普通的有电阻、电容、电感等组成的电路系统，实际上在电路的输入输出之间存在双向影响的传递函数。为了将两个电路系统相连，保持各个系统输入输出之间的关系不受影响，需要在电路之间增加理想的运放完成信号跟随，可以保持输入输出之间的关系。

  比如下面电路中，输入的RC低通滤波器通过中间的运放信号跟随驱动后面的CR高通滤波器。系统的输入输出关系可以将两个滤波器的传递函数直接相乘。

$$\frac{U_2\left(s\right)}{U_1\left(s\right)}=\frac{R_1{C}_{1}s}{{\left(1+R_1{C}_{1}s\right)}^2}$$

  如果将两个电路直接连接在一起，之间不通过理想运放进行信号的跟随隔离，那么输入输出之间的传递函数为：

$$\frac{U_2\left(s\right)}{U_1\left(s\right)}=\frac{C_1{R}_{1}s}{{\left(C_1{R}_{1}s\right)}^2+3C_1{R}_{1}s+1}$$

from headm import *
from sympy                  import symbols,simplify,expand,print_latex

R1,C1,s = symbols('R1,C1,s')

def p(s1,s2):
    return s1*s2/(s1+s2)

def Xc(c):
    return 1/(c*s)

X1 = Xc(C1)

X2 = p(X1, X1+R1)
H1 = X2/(R1+X2)
H2 = R1/(X1+R1)

result = H1*H2

result = simplify(result)

print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))

  对比前面两个传递函数，可以看到经过电压跟随的网络传递函数与直接将两个RC回路相连对应的网络传递函数是不相同的。

  因此，在后面的逆系统设计过程中，都增加有信号跟随。

  下面分别讨论RC低通滤波器，CR高通滤波器的逆系统对应的电路。

  对于RC低通滤波器，它的输入输出的传递函数为： $$\frac{U_2\left(s\right)}{U_1\left(s\right)}=\frac{1}{C_1{R}_{1}s+1}$$ 对应的逆系统的传递函数应该是 $$H_{INV}\left(s\right)=\frac{U_1\left(s\right)}{U_2\left(s\right)}=1+R_1{C}_{1}s$$

  在下面电路中，利用 $C_1，R_1$ 与运放构成了电路，对应的传递函数为:

  因此，输入输出之间传递函数为 1.

  对于CR高通滤波器，对应的输入输出传递函数为： $$\frac{U_2\left(s\right)}{U_1\left(s\right)}=\frac{C_1{R}_{1}s}{C_1{R}_{1}s+1}$$ 对应的逆系统电路的传递函数为 $$H_{INV}\left(s\right)=1+\frac{1}{C_1{R}_{1}s}$$