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电磁课组（一）电磁学复习总纲

时间：2022-12-24 13:30:00 2uh2r2m电感

复习大纲

  • 1. 静电场
    • 1.1. 电荷 q → q\to q→电场 E E E
      • 1.1.1. 库仑定律
        • 1.1.1.1. 电偶极子
        • 1.1.1.2. 带电环中垂线
      • 1.1.2. Gauss定理
        • 1.1.2.1. ( ? \ast ?)球面
        • 1.1.2.2. 球体
        • 1.1.2.3. 无限带电平板
        • 1.1.2.4. 无限长带电直线
      • 1.1.3. 复杂带电体和不均匀带电体
      • 1.1.4. 用电势计算电场
    • 1.2. 求电势 φ \varphi φ
      • 1.2.1. E → φ E\to \varphi E→φ：定义式
      • 1.2.2. q → φ q\to \varphi q→φ：决定式
      • 1.2.3. 常见模型
        • 1.2.3.1. 无限长直线
        • 1.2.3.2. 球面对外
        • 1.2.3.3. 半球面对圆心
    • 1.3. φ → q \varphi\to q φ→q
  • 2. 导体和电介质
    • 2.1. 导体
      • 2.1.1. 静电平衡
      • 2.1.2. 重要的思想方法
    • 2.2. 电容C
      • 2.2.1. 球形电容
      • 2.2.2. 平行板电容
    • 2.3. 电极化
      • 2.3.1. 介电效应
      • 2.3.2. 极化电荷和极化强度
    • 2.4. 电介质电场理论——D的Gauss定理和环路定理
      • 2.4.1. 重要公式链
  • 3. 电路
    • 3.1. 电流
      • 3.1.1. 电流强度和电流密度
      • 3.1.2. 电流分布模型
        • 3.1.2.1. 面电流
        • 3.1.2.2. 体电流
      • 3.1.3. 电流密度决定式
    • 3.2. 电阻和电导
    • 3.3. 微分形式的欧姆定律
    • 3.4. 电动势
  • 4. 稳恒磁场
    • 4.1. 磁场和电流关系
      • 4.1.1. 唯象的几个理论
        • 4.1.1.1. 安培力
        • 4.1.1.2. 洛伦兹力
        • 4.1.1.3. 霍尔效应
      • 4.1.2. ( ∗ \ast ∗)毕-萨定律
      • 4.1.3. 毕萨定律推出的几个常用模型
        • 4.1.3.1. 无限长直导线
        • 4.1.3.2. 载流圆线圈
        • 4.1.3.3. 螺线管/稳恒均匀柱面环形电流
      • 4.1.4. 磁力矩
      • 4.1.5. 安培环路定理
      • 4.1.6. 由环路定理得到的几个新模型
        • 4.1.6.1. 无限长柱形电流（略）
        • 4.1.6.2. 无限大带电平面
    • 4.2. 磁介质
      • 4.2.1. 磁化
      • 4.2.2. 磁化强度矢量
      • 4.2.3. 磁介质的磁场理论
  • 5. 变化的电磁场
    • 5.1. 法拉第定律
    • 5.2. 感生电动势和磁场变化
    • 5.3. 自感和互感
      • 5.3.1. 自感系数与磁链
      • 5.3.2. 互感系数
    • 5.4. 暂态电路
    • 5.5. 位移电流
      • 5.5.1. 非恒定条件下的磁场环路定理
      • 5.5.2. 位移电流
      • 5.5.3. 全电流连续方程
      • 5.5.4. 电磁波
        • 5.5.4.1. 波速
        • 5.5.4.2. 特性阻抗
  • 6. 电磁场中的能量问题
    • 6.1. 电场能
    • 6.2. 磁场能
    • 6.3. 电磁波输运

1. 静电场

主要是电荷 q q q，电场 E E E，电势 φ \varphi φ的互求。

1.1. 电荷 q → q\to q→电场 E E E

1.1.1. 库仑定律

1.1.1.1. 电偶极子

注意在求解过程当中，充分运用电偶极子的 r ≫ l r\gg l r≫l的条件

延长线
E e = 1 4 π ε 0 2 q l r 3 i ^ E_e=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{2ql}{r^3}\hat{i} Ee​=4πε0​1​r32ql​i^
中垂线
E m = − 1 4 π ε 0 q l r 3 i ^ E_m=-\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{ql}{r^3}\hat{i} Em​=−4πε0​1​r3ql​i^

1.1.1.2. 带电圆环中垂线

E = Q 4 π ε 0 ( r 2 + R 2 ) ⋅ cos ⁡ θ = Q z 4 π ε 0 ( z 2 + R 2 ) 3 2 k ^ E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2+R^2)}\cdot\cos\theta=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\hat{k} E=4πε0​(r2+R2)Q​⋅cosθ=4πε0​(z2+R2)23​Qz​k^

1.1.2. Gauss定理

∯ E →   ⋅ d S → = q 内 ε \oiint\overrightarrow{E}\,\cdot\mathrm d\overrightarrow{S}=\frac{q_内}{\varepsilon} ∬ ​E ⋅dS =εq内​​
Gauss定理舍弃了对空间位置关系的描述。所以如果要用这个式子简便地解决所需问题，那么就必须寻找问题的对称性。这种对称性将保证体系的“各向同性”，也就是说每一处微元面积对应的场强都相等，这样才能体现出Gauss定理的简便和价值。特别注意！

另外我发现了这个问题证明和场论Gauss公式的一致性。消掉的 4 π 4\pi 4π就对应二型面 ∯ 1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) \displaystyle\oiint\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)} ∬ ​(x2+y2+z2)1​求解过程中在中间挖的球的面积。

这里没有太想明白以后看不明白也别抱怨自己

1.1.2.1. ( ∗ \ast ∗)球面

E → = R 2 σ r 2 ε r ^ \overrightarrow{E}=\frac{R^2\sigma}{r^2\varepsilon}\hat{r} E =r2εR2σ​r^

1.1.2.2. 球体

E → = ρ r → 3 ε \overrightarrow{E}=\frac{\rho\overrightarrow{r}}{3\varepsilon} E =3ερr ​

1.1.2.3. 无限大带电平板

E = σ 2 ε E=\frac{\sigma}{2\varepsilon} E=2εσ​

1.1.2.4. 无限长带电直线

E = λ 2 π ε r E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r} E=2πεrλ​

1.1.3. 复杂带电体与不均匀带电体

积分和割补法（叠加原理）。

1.1.4. 借助电势计算电场

这几个公式都可以良好地逆用，实现 E → q E\to q E→q（不重要）

1.2. 求电势 φ \varphi φ

1.2.1. E → φ E\to \varphi E→φ：定义式

在逻辑关系上说，这个求电势是在前面的。由于场强具有独特的灵活性，所以优先使用。往往适用于规整的群体空间结构，涉及位置变化的场强求解。

利用Coulumb定律、Gauss定理求 E E E，再求 φ \varphi φ
适用于对称性比较好的情形。

注意：

  • 无限大带电体不能将无限远作为零电势。

应用：
求均匀球面产生的电势：

  • r < R rr<R
    φ = ∫ r ∞ = ∫ r R 0   d r + ∫ R ∞ Q 4 π ε 0 r 2   d r = Q 4 π ε 0 R \varphi=\int_r^\infty=\int_r^R0\,\mathrm dr+\int_R^\infty\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\mathrm dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} φ=∫r∞​=∫rR​0dr+∫R∞​4πε0​r2Q​dr=4πε0​RQ​

1.2.2. q → φ q\to \varphi q→φ：决定式

d u =

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