《空间谱估计理论与算法》学习笔记003-阵列模型二阶统计特性

2.3 二阶统计特征阵列模型

假设：
(1)信号源小于阵元，以确保阵列流矩阵的线性独立。
(2)噪声序列为10平均高斯过程，每阵元间噪声独立，噪声和信号独立。
(3)信号源通常是窄带远场信号。
(4)形成阵列的各传感器为各向同性阵元，无互耦和通道不一致干扰。
对于模型
$$X\text{X}X(t)=A\text{A}AS\text{S}S(t)+N\text{N}N(t)$$

考察阵列快拍数据的协方差矩阵
$$R\text{R}R=E\left\{X\text{X}X{X\text{X}X}^H\right\}=A\text{A}AE\left\{S\text{S}S{S\text{S}S}^H\right\}{A\text{A}A}^H+E\left\{N\text{N}N{N\text{N}N}^H\right\}=A\text{A}A{R\text{R}R}_S{A\text{A}A}^H+{R\text{R}R}_N$$

式中，${R\text{R}R}_S$，${R\text{R}R}_N$分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵，对于空间里像白噪声且噪声功率为${\sigma }^2$，有下式成立
$$R\text{R}R=A\text{A}A{R\text{R}R}_S{A\text{A}A}^H+{R\text{R}R}_N=A\text{A}A{R\text{R}R}_S{A\text{A}A}^H+{\sigma }^{2}I\text{I}I$$

对$R\text{R}R$进行特征分解
$$R\text{R}R=U\text{U}U\Sigma {U\text{U}U}^H$$

式中，$U\text{U}U$为特征矢量矩阵，其中有特征值组成的对角阵$\Sigma$如下
Σ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ M ] \Sigma= \begin{bmatrix} \lambda_1\\ & \lambda_2\\ & & \ddots \\ & & & \lambda_M\\ \end{bmatrix} Σ=