电阻立方体网络

??经常看到这样的电阻网络问题， 虽然没有实际应用，但还是挺有意思的。 下面是12个10k欧姆的电阻焊接成电阻立方体网络。 问题是求A-H 之间的电阻。

▲ 图1 电阻立方体网络

??当所有电阻都相同时， 如果在A,H 两端施加电压， 那么D,E,C,F 这四点都应该是A,H中间电位之间， 所以连接在C,D 以及E,F 之间的电阻可以省略。 电路可以简化为下面右边的形式。

▲ 图2 电阻网等效电路

??不难分析， 最终A-H 单个电阻之间的电阻应为四分之三。 若单个电阻为10kΩ，那么A-H 之间的电阻应该是7.5kΩ。

??事实上，这个电阻网络有八个顶点， 两者之间都有阻抗。 如果询问那两点的阻抗最大， 估计大部分人都会承认应该是立方体的对角线，比如A-G ， 电阻之间最大。 那么A-G 电阻之间有多大？

??Don Cross 在他的博客 Cubical Resistor Network 讨论这个问题。他假设施加立方体对角线1V 激励电压， 对格点之间的对称性和等效电阻进行分析， 最后，他得到立方体对角线的电阻等于单个电阻的六分之五。

▲ 图3 电阻网立方体等效电路

??有趣的是，他还使用实际电阻进行测试， 并测量网络中所有节点之间的电阻。

▲ 图4 实际电阻网络

??经过测量， 可以看到整个网络各节点之间的电阻总共分为三类：

• 对角线： 电阻大约为 5/6 R;
• 同面对角线：电阻大约为 3/4 R;
• 相邻： 电阻大约 3/5 R；

▲ 图5 电阻网络各点之间的实测电阻

??估计上述电阻网络等效电阻计算仍可用心计算， 在 Infinite 2D square grid of $1\Omega$ resistors 在询问无限范围内的二维电阻网络中，两个对角线之间的电阻问题。

▲ 图6 二维电阻网络在无限范围内

??在求解的方法中仍然使用傅里叶变换 的公式， 这真的让我破防。 在上述无限二维电阻网络中，对角线节点之间的电阻实际上是 $2/\pi \Omega$ ！

▲ 图7 奇怪的电路图

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■ 相关文献链接：

• Cubical Resistor Network
• Infinite 2D square grid of $1\Omega$ resistors

● 相关图表链接：

• 图1 电阻立方体网络
• 图2 电阻网等效电路
• 图3 电阻网立方体等效电路
• 图4 实际电阻网络
• 图5 电阻网络各点之间的实测电阻
• 图6 二维电阻网络在无限范围内
• 图7 奇怪的电路图