卡尔曼滤波器（Kalman Filter），字面上看，Filter滤波器一词不能很好地体现其特点。用一句话来说，卡尔曼滤波器Optimal Recursive Data-Processing Algorithm，即最优化 递归 数字处理 算法像是一种观测器，而不是一般意义上的滤波器。特别是在导航中，卡尔曼滤波器被广泛使用。它的广泛应用是因为世界中存在大量的不确定性，当我们描述一个系统时，这个不确定性主要体现在三个方面：

下面是一个例子，用同一把尺子多次测量同一枚硬币的直径 $z_k$ 表示第k次测量结果。由于各种误差，测量得到：
$$\begin{array}{r}{z}_1=50.1mm\\ z_2=50.4mm\\ z_3=50.2mm\end{array}$$
此时如果要估计真实结果，自然而然地会想到取平均值。用 ${\hat{x}}_k$ 表示第k次的估计值，可以得到：
$$\begin{array}{rl}{\hat{x}}_k& =\frac{1}{k}(z_1+z_2+\cdots +z_k)\\ & =\frac{1}{k}(z_1+z_2+\cdots +z_{k-1})+\frac{1}{k}(z_k)\\ & =\frac{k-1}{k}\frac{1}{k-1}(z_1+z_2+\cdots +z_{k-1})+\frac{1}{k}(z_k)\\ & =\frac{k-1}{k}{\hat{x}}_{k-1}+\frac{1}{k}(z_k)\\ & ={\hat{x}}_{k-1}+\frac{1}{k}(z_k-{\hat{x}}_{k-1})\end{array}$$
上式中，第三行 $\frac{1}{k-1}(z_1+z_2+\cdots +z_{k-1})$ 就是 $k-1$ 次的平均值 ${\hat{x}}_{k-1}$

观察最后一行结论，$k\uparrow ,\frac{1}{k-1}\to 0,{\hat{x}}_k\to {\hat{x}}_{k-1}$ ，也就是说，随着k的增加，此时拥有了大量的数据，对估计的结果就比较有信心了，测量的结果就不是很重要了。相反，如果k比较小， $\frac{1}{k-1}$ 就会比较大，测量结果 $z_k$ 就会起到很大的作用，尤其是测量结果和估计值差距比较大的时候。

令 $K_k=\frac{1}{k-1}$ ，则此时公式可以表示为：
$${\hat{x}}_k={\hat{x}}_{k-1}+K_k(z_k-{\hat{x}}_{k-1})$$
上式表示的含义为：当前的估计值 = 上一次的估计值 + 系数 * ( 当前测量值 - 上一次的估计值 ) ，其中的 $K_k$ 就是卡尔曼增益/因数（Kalman Gain），通过这个公式可以看出，新的估计值 ${\hat{x}}_k$ 与上一次的估计值 ${\hat{x}}_{k-1}$ 有关，上一次的又与上上次的有关，这就是一种递归思想（Recursive），这也是卡尔曼滤波器的优势，他不需要追溯很久以前的数据，只需要上一次的就可以。下面来讨论一下这个 $K_k$ ：

引入两个误差：

1. 估计误差 $e_{EST}$ （e代表误差error，EST代表估计estimate）
2. 测量误差 $e_{MEA}$ （e代表误差error，MEA代表测量measurement）