高斯-若尔当消元法

高斯-若尔当消元法(英语:Gauss-Jordan Elimination)，简称高斯-约旦消元法G-J消元法是数学中的算法，也是高斯消元法的另一个版本。用于在线性代数中找出线性方程组的解，其方法与高斯消除法相同。唯一不同的是，这种算法产生的矩阵是简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。与高斯消元法相比，该算法效率相对较低，但可以一次性表示方程组的解用矩阵。

中文名

高斯-若尔当消元法

外文名

Gauss-Jordan Elimination

领域属性

另一个版本的高斯消元法

其他译名

高斯-约旦消元法

简称

G-J消元法

高斯-若尔当消元法简介

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在数学上，高斯消元法(或翻译:高斯消去法)是线性代数规划中的算法，可以用来解决线性方程组。但其算法非常复杂，不常用于加减消元法、找出矩阵秩、找出可逆方阵的逆矩阵。但是，如果有100万个等式，算法将非常省时。一些大的方程组通常用迭代法和花式消元来解决。当用于矩阵时，高斯消元法会产生行梯阵式。高斯消元法可用于计算机解决数千个等式和未知数。还有一些方法专门用来解决一些具有特殊排列系数的方程组[1]

。

图1Gauss-Jordan很多地方都会使用消元法，比如寻找矩阵的逆矩阵，解线性方程组等等。它的速度不是最快的，但它非常稳定， 同时，求解过程也比较清晰， 因此，人们使用更多。与高斯消元法相比，Gauss-Jordan线性方程组更容易找到消元法的最终解决方案得到的是简化行列式。转换后的增加矩阵形式如图1所示，因此不使用替换算法可以直接找到方程解。但该算法效率较低。

高斯-若尔当消元法G-J消元法的初级变换方法

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G-J 消元法通过这种方法进行初级变换：在每个循环过程中，首先找到主元，并通过行转换主元 (无列变换) 移动到矩阵的主对角线上， 然后将主元所在行的所有元素除以主元，使主元化 1.然后观察主元所在列中的其他元素，将主元所在主元所在行乘以一定倍数， 使主元所在的列内， 除主元以外的其他元素化为 0使得主元所在的列化成单位矩阵的形式。 这是一个循环工作。 这是一个循环工作。 然后， 在第二轮循环中， 不考虑上一轮计算过程中主元所在行和列中的元素， 在剩余的矩阵范围内寻找主元， 然后(如果不在主对角线上) 将其移动到主对角线上， 并再次进行列处理， 以单位矩阵的形式列出。 剩下的步骤依此类推。 一个具体计算过程的例子， 请参见以下求逆矩阵过程的例子。

高斯-若尔当消元法Gauss-Jordan解方程组过程

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高斯-若尔当消元法引例

假设有以下方程组：

写成矩阵的形式是： AX=B ，其中：

而且，现对矩阵 A 同时，矩阵 B 也做同样的初等变换，当 A 化为单位矩阵时，有：

很明显，我们得到了方程组的解决方案。

所以， 要采取一定的策略， 对 A 和 B 一系列初等变换， 当 A 化为单位矩阵时，B 解方程组。

高斯-若尔当消元法求解过程

如果要解系数矩阵相同，右端向量不同 N 在设计程序时，个方程组。 ”解 N次方程组 “，我们完全可以在程序中，将所有的右端向量以矩阵的数据结构(类似于二维数组)来表示， 当系数矩阵变换时， 矩阵中的每个右端向量也发生了相同的变化， 这样，我们在求解操作的过程中，实际上是同时在解 N 方程组。

高斯-若尔当消元法G-J消元法求逆

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高斯-若尔当消元法原理

假设 AX=E ，其中， A 为 n 阶系数矩阵(与上述解线性方程组对比)；E 单位矩阵，即单位列向量； X 为 n 由列向量组成的矩阵，即列向量。于是，可以把等式 AX=E 看成是求解 n 在找到所有线性方程组后，也就是得到矩阵 X。而由 AX=E 可知，矩阵 X 是 A 逆矩阵，即。就这样，求出了 A 逆矩阵。因此，求逆矩阵的过程变成了解线性方程组的过程，因此我们可以使用它 Gauss-Jordan 消元法寻求逆矩阵。系数矩阵求逆矩阵时 A 和单位矩阵 E 在每次约化过程中，系数矩阵可以共享一个存储区域，并逐渐被其逆矩阵所取代。

高斯-若尔当消元法示例

方程组如下：

显然，方程组对应的系数矩阵 A 右端向量矩阵 B分别为：

其实在求逆矩阵的过程中，矩阵 B 没关系，可以忽略，但这里还是写出来了。下面，单位矩阵 E 附在 A 右边形成另一个矩阵(A|E)：

接下来，通过矩阵的初级变换，将 A 化为单位矩阵 E，而 E 则化为了 A 逆矩阵。转换步骤如下：

(1)选择主元 3，所以将 Row1 (第一行)和 Row2 (二行)交换:

(2)主元所在行的所有元素除以主元:

(3)Row1 – Row2 ，Row3 – 2 × Row2 ：

现在，原来的矩阵 A 一列被化为单位阵的形式。

(4)重新选择主元，这次选择主元 5/3，于是 Row1 ÷ 5/3 (主元所在行的所有元素除以主元):

(5)Row2 – (1/3) × Row1 ，Row3 – (4/3) × Row1 ：

现在，原来的矩阵 A 另一列形式化为单位阵。

(6)重新选择主元，这次选择主元 -1/5 ，于是 Row3 ÷ (-1/5) (主元所在行的所有元素除以主元):

(7)Row1 – (2/5) × Row3 ，Row2 – (1/5) × Row3 ：

现在，原来的矩阵 A 所有列都变成了单位阵列的形式。可以看出，上述过程非常适合计算机编程。到目前为止，我们已经完成了 A 到 E 在此过程中使用了选择主元的方法，但不使用列交换。因此，原单位矩阵 E 变成：

词条图册

更多图册

参考资料

1.

华健、韩学山、王锦旗、陈芳、李超. 改进高斯消元算法在电力系统拓扑结构分析中的应用[J]. 2007年(23)电网技术:57-61.