加速度积分得到速度和位移的问题小结

在振动信号采集分析中，由于加速度传感器具有可靠性高、可测频带宽、结构小、抗干扰能力强等优点，我们经常使用加速度传感器。然而，有时需要获得速度和位移信号。此时，如何通过加速度积分获得速度和位移存在基本问题。这个问题困扰着许多相关人员。国内各种教科书也很少提及，也不知道为什么。

无论是线性系统还是非线性系统，在时域产生的信号都符合以下微分方程

其解可以写成

其中v0是积分常数，积分下限t=0表示采样的起始时间是指定时间轴的原点。如果振动没有交流量，则加速度为常数，可以获得v(t)=v0 at。速度积分的位移处理类似，所以有

其中d因为v0和d0通常是未知的，加速度积分得到速度和位移，存在积分常数问题。

积分常数问题是一个非常麻烦的问题。首先，我们可以看到，对于任何问题δv，得到

都对应同样的加速度a(t)，也就是说v0和d0取任何值对应于相同的测量加速度和测量速度，因此不可能仅仅通过当前信息获取速度和位移，无论是数值点还是模拟电路点。本文主要讨论了数值积分的问题。对于模拟电路积分的问题，建议您阅读《压电加速度计和振动前放大电器》。结论是，在高频率下，放大器的增长率会下降，而不是理想的放大器；在非常低的频率下，它将受到时间常数或电路电容器的限制，而且不够准确。你可能对这个回复不满意。市场上没有各种各样的回复FFT，各种去趋势项，各种滤波操作？《力学学报》上发表的论文不也是用模拟积分电路积分吗？我的建议是，仔细看论文中的说法，你应该有自己的思考和判断。

在实际工作中，无限多v在0的选择中，您可以选择最可靠的值，因为在这些选项中，可以确定最可靠的值必须在有限范围内[va，vb]以内。因此，有必要增加对被测物体状态的判断。基于此判断，做出假设，根据此假设列出约束条件，根据约束条件找到方程，然后找出看似最可靠的积分常数。假设成立了，就得到了很好的Nice估计；假设不成立，误差很大，那就是自娱自乐，你开心就好。

从可观性的角度来看这个问题

以下讨论仅限于线性系统，是最近关注某个问题时顺便做的笔记。

振动方程为

对应的状态空间模型是

离散后可获得状态方程

可观性定义：假设A，B，C和D已知，位移和速度可以从观测到的加速度和载荷向量中计算出来吗？从迭代解可以知道，只需要尝试测试x(1)即可知道所有后续的状态x(k),k=2,3,4,…。

现在，考虑以下顺序

写矩阵形式

注意到对SDOF模型，上面的矩阵方程总是一个p×(p 2)矩阵是一个不可估量的问题，不可能同时测试加速度x(1)求出。矩阵现在被分割成。

其中Op可观测矩阵，可获得

也就是说，联合测试加速响应，知道可观测矩阵Op、只有系统矩阵E和载荷才能识别所有状态变量，并且可观察到矩阵不能奇怪，必须是满的。2015年Computers &Structures上一篇关于载荷识别的论文是基于对式(8)的简化，假设初始状态x(1)=0，得到

在实际问题的应用中，这种零初始条件的假设是一厢情愿的想法。数据采集器采样数据块后，不能再假设数据块采集结束时的状态变量为零。因此，至少在后续计算中需要考虑 过去激励引起的未来响应问题或x(1)问题不是0。

同样，在实践中，我们没有测试激励，没有做实验来获取系统参数，更不用说保证传感器布局点对应的观测矩阵了Regular是的，如果你想单独使用加速度响应，就不可能完全构建速度和位移。即使你得到了，误差也可能在80%左右，正确的是量纲。

现在的问题是，当我们得到加速数据时，我们应该考虑哪些实际问题，以及是否有办法得到不是很坏的结果？答案是肯定的，但这些要求太高或假设建立的可能性很小，所以数据的误差通常很大。

可能的假设

J.S Bendat和A.G. Piersol信号分为确定性和随机性，信号是确定性还是随机性，可能存在争议，短时间可能是确定性，长时间随机，或其他开关条件长时间触发不可预测因素。确定的信号和随机信号分为以下几种：

在确定性信号中，周期信号是罕见的；在随机信号分类中，各种状态的稳定信号是罕见的。最常见的信号是非周期信号和非稳定信号，这是实际遇到的高概率事件。

因此，下面讨论一些低概率假设和高概率误操作。

3.1 假设1:位移是零均值的信号

被测结构没有明显的位移，因此假设为零均值。然而，我们知道，在有限的时间采样后，离散数据不能严格等同于采样范围内连续信号的真实平均值。而且采样区间的真实平均值很可能是非零平均值，但平均值很小。对于速度信号，采用数值积分获取零平均位移信号的方法，以及以下加速度数值积分获取速度的方法。

3.2 假设2:速度为零平均信号

设当加速度不为常数时，采样间隔时间dt足够小，离散值分为梯形公式

v0任意假设。获得零均值就是去掉趋势项，得到

上述类型（10）是一种程序语言，表示将有一个部分估计的速度信号（组成矩阵），每个元素去除整体已知平均值，以便校正V为零平均值。去除趋势项的操作可能会有各种优雅的处理，例如Matlab里面的detrend这里不再涉及命令等。

值得一提的是，如果趋势项的操作包含非线性因素，则可能存在频率重叠困难，因为采样频率是一定的。这些非线性操作，如引入平方、打开平方根、矩阵逆转或取符号操作，将引入带宽以上的频率重量，这可能不是预期的结果，需要后续修正。最好的处理是确保足够的带宽，最后，制作无相移的低通滤波器。K. Worden教授对去趋势项的研究结论认为，优雅去趋势项操作引入的误差难以处理。K. Worden教授对去趋势项的研究结论认为，优雅去趋势项操作引入的误差难以处理。有趣的是，他早年在那里MSSP上面发表的论文认为数值积分方案非常好Nice选择；几年后，他在自己的书中对这个问题做了更详细的论证和分析。他认为数值微分方案更好。

3.3 假设3:速度是周期信号

在这种情况下，加速度FFT，在频域积分，然后IFFT回来吧。

但我们需要知道两个潜在的问题：加速信号，从时域图，必须是周期性的或Almost周期，因此必须选择合理的分辨率来实现整个周期采样；如果频率分辨率选择不合理，可能会有非常严重的泄漏，窗口声称可以减少泄漏，但窗口通常对点后的速度信号是毁灭性的，窗口效应保留在时域速度信号中，无法修正；如果有能力不加窗户，对数据的分辨率选择提出了很高的要求。如果不是周期信号，如何选择分辨率是没有用的。

图1 非周期信号 加窗的FFT积分再IFFT与准确的解释(蓝色)进行比较

3.4 假设4:当速度为零时，最大加速度

这个假设，是我偶然想到的，是在研究算法时，看到非线性微分方程强制响应，然后突然想到，假设速度为零，对应动能最小，然后惯性最大，加速度最大，所以得到结果，在那个例子中，需要在许多加速峰值中选择，然后确定积分常数，确实产生了更好的效果，但这太巧合了，再次按照这种方法选择其他峰值再做一次，失败了，现实中没有这样理想的假设。

图2 时域曲线对比速度(红色)和加速度(蓝色)

当时的做法是在明显的加速度峰值附近选择几个离散加速度点；通过多项拟合获得加速度的时间表达，可以表达为

其中下标k=1,2,3...s仅代表相邻数据点的有限选择。

假设系统的阻尼很小，当最大惯性力和最大弹性恢复力平衡时，粘性阻尼力为零。这个假设在某些时候建立起来，那么当加速度最大时，速度可以为零。使上述表达式为零，并在离散数据中选择最大加速度tmax，找到加速度的真正峰值时间tp，tp非常靠近tmax，即

加速度的表达点得到表达式的速度，积分常数v0待求

tp时速为零，从而解决积分常数v0

速度表达式在此范围内已知，回到tmax这一刻的速度可以直接得到，应该是一个非常小的量

这样，我们终于找到了估计速度小，可以根据上述离散公式继续完成剩余时间点。

因为这种方法并不总是成立的，故障后的结果如下所示。

图3 与参考结果(红色)相比，梯形值积分结果存在整体偏移量δv

数值积分案例

96年在网上荡荡Steven D. Glaser等人在(Preliminary Processing of the Lotung LSST Data报告中，附录中有源代码是地震加速度信号，频率特别低。将源代码贴在这里，给感兴趣的人:

function[a,v,d]=vd(f,Lcut,dT,pre,name)

% function[a,v,d]=vd(f,Lcut,dT,pre,name)

% detrends andfilters the input acc and integrates twice to give velo and disp

% f is the inputacc vector

% Lcut is thelow-end cutoff frequence in Hz

% dT is the timestep

% n is the orderof the Butterworth filter

% pre is thepre-event segment length to be zeroed

zip=zeros(size(zip));

[b,c]=butter(n,Lcut*dT*2,'high');

a=filtfilt(b,c,f);

a=dtrend(a(1)，1，pre);%%mxl:函数已经过时了.

a=detrend(a);

a=a-a(pre 1);

a(1:pre)=zip;

v=dtrend(v(1,:)',1,pre);%%mxl:这个函数已经过时了

v=v-v(pre+1);%整体平移量

v(1:pre)=zip;%前pre个数值设置为0

d=inttrap(v,dT);%%mxl:这个是数值积分，这个函数过时了

[b,c]=butter(n,Lcut*dT*2,'high');

d=filtfilt(b,c,d);

d=dtrend(d(:,1),1,pre);

d=detrend(d); %去趋势项

d=d-d(pre+1); %整体平移量

d(1:pre)=zip; %前pre个数值设置为0

可以看到，他们首先使用了低通滤波，做了去趋势项，然后整体平移了一个量，再将前pre个数值人为置为零。

终极建议

如果同时测试了加速度和位移，那么就特别好办了。所以，如果有条件，尽可能测试加速度和位移。

设在某个区间 [t1,t2] 里面，加速度和位移都可以拟合一个表达式(expression)

在两次积分的情况下可以得到时间常数的表达式，从而解出未知系数

可见速度也同时得到了。

测试位移+测试加速度，可以通过数值微分+低通滤波得到速度；当然也可以直接通过Kalman滤波得到速度，方便、快捷、高效又稳健；或者带有微分算法的低通滤波得到速度，等等。方法总是有很多种。但并不建议测试位移，两次数值微分得到加速度，因为数值微分算法是高通滤波器，会引入高频噪声，采样频率越高，高频噪声问题越严重，两次数值微分得到的加速度误差较大，但也并不是完全不能使用，加上低通滤波可以降低这个误差，总比从加速度积分得到位移要靠谱得多。使用低通滤波算法要注意不要引入相移，平滑处理(Smooth)也是一种低通滤波，效果还行。下面是把不同点数差分算法看成是高通滤波器，然后计算其频率响应得到的曲线，注意是对采样频率fs做了归一化以后的结果。结论是：用5点差分算法是可行的，向前差分或者Matlab的diff函数，最糟糕。

图4 不同差分格式的频响特性

5.1 部分数值实验结果

下面贴出一个位移传感器在低频范围内振动，并做了相对位移和相对加速度采集的结果，从而依据这些测试结果进行数据后处理。

图5 diff会引入高频噪声；加低通滤波能消除这个噪声；smooth是移动平均，也能消除这个噪声

图6 最小二乘法可能计算不准初速度(m/s)，微小的差别最终导致位移无法复现，如图7所示

图7 两种方法计算得到速度再梯形积分得到的位移(mm)对比，红色为测试位移结果黑色和红色几乎完美重合，蓝色为上面least+低通滤波的结果

图8 filter函数会引入相移，而filtfilt函数可以消除相移

图9 最小二乘法初始速度计算不为零，造成了位移恢复结果累积误差较大，产生overshoot现象，精度不及diff+滤波结果

图10 恢复位移和测试结果比较，黑色为diff恢复结果，蓝色为最小二乘加低通滤波结果，最小二乘法可能产生underestimate现象

图11用速度恢复位移和测试结果比较，黑色为diff+fir低通滤波结果，蓝色为diff+移动平均结果，说明diff+移动平均结果也不错

图12 最小二乘法与diff法得到的加速度对比，低通截止0.05

图13 最小二乘法与diff法得到的加速度对比，低通截止0.5

提高低通截止，最小二乘法得到的加速度结果明显优于diff，说明这个时候差分的噪声很难消除。

上面的实验部分实验结果，主要集中在低频，大多数位移测试的也是在低频，少部分如激光测振才能达到较高频率。

有人可能说会有更好的方案，所以，可以求解一些线性或者非线性ODE，得到精确的位移、速度和加速度数据，可以试试对这些加速度进行积分，你可以试试数值积分或者模拟电路积分，并和标准速度和标准位移对比一下，考验一下你的算法的精度。

作者简介

牟小龙，北京理工大学机械与车辆学院博士研究生，擅长线性有限元分析和系统阻抗匹配。

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