电容放电特性分析τ=RC的推导
时间：2022-09-05 13:30:00
1 定性分析：
图1 超电容放电电路
如图1所示，此时公式如图1所示
{ R R S = U c ( t ) I = c d U c d t \begin{cases} & \text{ } R R_{S}=U_{c}(t) \\ & \text{ } I=c \frac{dU_{c}}{dt}\end{cases} {
R RS=Uc(t)I=cdtdUc
此时初始时刻的状态为
C d U c d t ( R + R S ) = U c ( 0 ) C\frac{dU_{c}}{dt}(R+ R_{S})=U_{c}(0) CdtdUc(R+RS)=Uc(0)
电容外部电压等于电容自身电压（基尔霍夫电压定律）
2 定量部分：
如图2为超级电容放电电路
图2
电路中电流关系如下所示：
| 初始状态 | { R + R S − U c ( t ) = 0 I = c d U c d t \begin{cases} & \text{ } R+ R_{S}-U_{c}(t)=0 \\ & \text{ } I=c \frac{dU_{c}}{dt}\end{cases} { R+RS−Uc(t)=0 I=cdtdUc |
|---|---|
| 进一步整理可得 | { 1 C ∫ I d t = U 初 始 + U C ( t ) R + R S − 1 C ∫ I d t = 0 \begin{cases} & \text{ } \frac{1}{C}\int Idt=U_{初始}+U_{C}(t) \\ & \text{ } R+ R_{S}-\frac{1}{C}\int Idt = 0\end{cases} { C1∫Idt=U初始+UC(t) R+RS−C1∫Idt=0 |
进一步假设：设 U 初 始 = 3.0 V U_{初始}=3.0V U初始=3.0V
| $U_{初始}=3.0V $ | { 1 C ∫ I d t = 3 V + U C ( t ) I R + I R S − ( 3 − 1 C ∫ I d t ) = 0 = （ I R + I R S + 1 C ∫ I d t ） − 3 \begin{cases} & \text{ } \frac{1}{C}\int Idt=3V+U_{C}(t) \\ & \text{ } IR+ IR_{S}-(3-\frac{1}{C}\int Idt) = 0=（IR+ IR_{S}+\frac{1}{C}\int Idt）-3\end{cases} { C1∫Idt=3V+UC(t) IR+IRS−(3−C1∫Idt)=0=（IR+IRS+C1∫Idt）−3 |
|---|
根据高等数学齐次方程可知：电流设为 e e e的对数形式（ e x p exp exp形式）。将 I = e A t + B I=e^{At+B} I=eAt+B带入可得上式可得：
| 将 I = e A t + B I=e^{At+B} I=eAt+B带入 | { I = e A t + B I R + I R S − ( 3 − 1 C ∫ I d t ) = 0 = （ I R + I R S + 1 C ∫ I d t ） − 3 \begin{cases} & \text{ } I= e^{At+B} \\ & \text{ } IR+ IR_{S}-(3-\frac{1}{C}\int Idt) = 0=（IR+ IR_{S}+\frac{1}{C}\int Idt）-3 \end{cases} { I=eAt+B IR+IRS−(3−C1∫Idt)=0=（IR+IRS+C1∫Idt）−3 |
|---|---|
| 带入收得到 | e A t + B ( R + R s ) + 1 C ∫ e A t + B d t = 3 e^{At+B}(R+R_{s})+\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt =3 eAt+B(R+Rs)+C1∫eAt+Bdt=3 |
| 移项 | e A t + B ( R + R s ) = 3 − 1 C ∫ e A t + B d t \\ e^{At+B}(R+R_{s}) =3-\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt eAt+B(R+Rs)=3−C1∫eAt+Bdt |
| 两边求导 | A × e A t + B ( R + R s ) = − 1 C ∫ e A t + B d t A \times e^{At+B}(R+R_{s}) =-\frac{1}{C}\int e^{At+B} dt A×eAt+B(R+Rs)=−C1∫eAt+Bdt |
| 消除同类项 | A × ( R + R s ) = − 1 C A \times (R+R_{s}) =-\frac{1}{C} A×(R+Rs)=−C 相关文章 |
