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旋转运动学

速度合成公式

假设有两个坐标系，如上图所示。根据习惯，我们将坐标系记为系统$\mathbf{b}$，静坐标系是惯性系$\mathbf{i}$。此时，有一个物体在空间中移动，记住两个坐标系下的坐标是${\mathbf{r}}^i$和${\mathbf{r}}^b$，两者之间的关系如下：
$${\mathbf{r}}^i={\mathbf{r}}_{ib}^i+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{r}}^b$$
式中上标表示矢量所在的坐标系，${\mathbf{r}}_{ib}^i$表示$\mathbf{b}$系到$\mathbf{i}$系的平移变换矢量，${\mathbf{R}}_{ib}$表示$\mathbf{b}$系到$\mathbf{i}$系的旋转变换矩阵。对上式求解时间导数有：
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\mathbf{r}}^i}{dt}& =\frac{d({\mathbf{r}}_{ib}^i+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{r}}^b)}{dt}\\ & =\frac{d{\mathbf{r}}_{ib}}{dt}+\frac{d{\mathbf{R}}_{ib}}{dt}{\mathbf{r}}^b+{\mathbf{R}}_{ib}\frac{d{\mathbf{r}}^b}{dt}\\ & ={\mathbf{v}}_{ib}^i+{\mathbf{R}}_{ib}[{\mathbf{\omega }}_{ib}^b{]}_{\times }{\mathbf{r}}^b+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{v}}^b\end{array}$$

这里我们引入矢量叉积的一个重要几何性质：
定理1：矢量叉积的旋转不变性。若矩阵$\mathbf{R}$为旋转矩阵，则对于矢量叉积$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$有$(\mathbf{R}\mathbf{a})\times (\mathbf{R}\mathbf{b})=\mathbf{R}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$。
利用这一性质，上式可以重写为：
$$\begin{array}{rl}\frac{d{\mathbf{r}}^i}{dt}& ={\mathbf{v}}_{ib}^i+{\mathbf{R}}_{ib}[{\mathbf{\omega }}_{ib}^b{]}_{\times }{\mathbf{r}}^b+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{v}}^b\\ & ={\mathbf{v}}_{ib}^i+[{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{\omega }}_{ib}^b{]}_{\times }[{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{r}}^b]+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{v}}^b\\ {\mathbf{v}}^i& ={\mathbf{v}}_{ib}^i+{\mathbf{\omega }}_{ib}^i\times {\mathbf{r}}^i+{\mathbf{R}}_{ib}{\mathbf{v}}^b\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

式（1）描述了物体的速度在动坐标系和静坐标系之间的转换关系，又称为速度合成公式或科里奥利方程。由于坐标系原点之间的位移矢量与旋转是相互独立，互不相应的，因此在后续讨论中，我们将省略式（1）中的${\mathbf{v}}_{ib}^i$项，只讨论旋转相关部分。

加速度合成公式

进一步地，我们对式（1）量测继续求时间导数有：
d v i d t = d ( ω i b i × r i ) d t + d ( R i b v b ) d t = d ω i b i d t × r i + ω i b i × d r i d t + d R i b d t v b + R i b d v b d t a i = ω ˙ i b i × r i + ω i b i × v i + ω i b i × r i + R i b a b \begin{aligned} \frac{d\bm{v}^i}{dt}&=\frac{d(\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{r}^i)}{dt}+\frac{d(\bm{R}_{ib}\bm{v}^b)}{dt}\\ &=\frac{d\bm{\omega}_{ib}^i}{dt}\times\bm{r}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\frac{d\bm{r}^i}{dt}+\frac{d\bm{R}_{ib}}{dt}\bm{v}^b+\bm{R}_{ib}\frac{d\bm{v}^b}{dt}\\ \bm{a}^i&=\dot{\bm{\omega}}_{ib}^i\times\bm{r}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{v}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{r}^i+\bm{R}_{ib}\bm{a}^b \end{aligned} dtdvi​ai​=dtd(ωibi​×ri)​+dtd(Rib​vb)​=dtdω元器件数据手册、IC替代型号，打造电子元器件IC百科大全！