??根据正运动学分析，只要我们知道机器人的结构和每个关节的位置（旋转关节的角度或移动关节的平移），我们就可以找到终端执行器的位置，即终端执行器的位置与关节的位置有以下关系：
$$\vec{x}=f(\vec{\theta })\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\vec{x}$表示末端执行器的位姿，$\vec{\theta }$表示关节角度。

  对式(1)两边同时对时间$t$求导可得：
$$\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}f(\vec{\theta })}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}f(\vec{\theta })}{\mathrm{d}\vec{\theta }}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{\theta }}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(2)}$$
即：
$$\dot{x}=\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}\vec{\theta }}\cdot \dot{\theta }=J(\theta )\cdot \dot{\theta }\text{\hspace{1em}(3)}$$

  矩阵$J(\theta )$即为机器人的雅可比矩阵，它将机器人关节空间的速度与操作空间的速度联系起来。这里需要注意$\vec{x}$，$\vec{x}$的描述有多种形式，其位置和姿态可以表示在笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系等不同坐标系下，其姿态可以表示为欧拉角、四元数等等。随着$\vec{x}$的描述不同，雅可比矩阵$J(\theta )$也会随之变化。为方便起见，定义基本雅可比矩阵，即用笛卡尔坐标描述线速度和角速度、以机械臂的基准坐标系（即坐标系 { 0 } \{0\} { 0}）作为参照系来描述末端执行器速度所求得的雅可比矩阵。（如无特殊说明，以下提到的雅可比矩阵均指基本雅可比矩阵）

  根据基本雅可比矩阵的定义，末端执行器的速度可以写为：
$$\dot{x}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\\ {\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\vec{v}\\ \vec{\omega }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$
雅可比矩阵应为$6\ast 6$的矩阵，可以写成：
$$J=\left[\begin{array}{c}{J}_v\\ J_{\omega }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$
上半部分对应线速度，下半部分对应角速度。

  由正运动学部分可以得到，末端执行器位姿矩阵为：
$$T_6^0=\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& o_x& a_x& p_x\\ n_y& o_y& a_y& p_y\\ n_z& o_z& a_z& p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$

  其中$p_x$、$p_y$、$p_z$即为末端执行器在坐标系 { 0 } \{0\} { 0}下的位置，因此，要求雅可比矩阵线速度部分$J_v$，只需要将 p x p_x