适合分析的 T 样条 (AST-样条) 有希望的候选人在工业环境中实现设计与薄壁结构分析的无缝集成。在这项工作中，我们允许每个方面都有多个异常点，即我们取消了以前要求的异常点至少相距四个环的限制。我们通过数学证明每个面具个异常点 AST 样条线性独立，多项式基函数形成非负单位分割。 AST 样条子集的扩展极大地增加了使用 AST 样条构建几何的灵活性；例如，可以围绕小孔构建较厚的网格。本工作详细介绍 AST 样条空间靠近异常点 C 1 元素之间的连续性在其他地方具有 C 2 元素间连续性。本文的收敛性研究涉及制造解决方案的二、四级线性椭圆问题。我们没有发现在第一个细化级别或渐近行为中允许每个方面都有多个方面 EP 任何缺点。我们使用它来解释可用的等几何框架 T-splines 和商业软件 Autodesk Fusion360 设计汽车的 B 柱和侧外板将控制网络导入我们的内部代码构建 AST-样条曲线将贝塞尔提取信息导入商业软件LS-DYNA，解决特征值问题。将结果与传统有限元进行比较AST样条与传统有限元有很好的一致性。

辅助计算机设计 (CAD) 在程序中，有两种主要范式表示任何拓扑属的曲面，即修剪 NURBS 修剪有异常点的样条曲线(网格周围的顶点) NURBS 表示是一个更广泛的例子，可以用于所有 CAD 程序。在这种情况下，数百(或数千)张量积累 NURBS 补丁 [1]每个人都有自己的参数来表示表面。另外，大多数 NURBS 面片都由NURBS 曲线修剪。修剪 NURBS 面片不会以任何方式更改 NURBS 面片的参数化和控制点。相反，计算机图形技术仅用于显示修剪曲线分割 NURBS 面片的两部分之一。所以，修剪后的 NURBS 表示缺乏一致的参数化，即与最终曲面几何形状相关的参数化。另外，修剪时 NURBS 当面片连接在一起时，面片之间的小间隙通常是不可避免的。相比之下，异常点(又称星点)的样条曲线对整个曲面具有一致的参数。此外，防水表面总能获得，即无小间隙或重叠表面。细分曲面 (SubD) [2] 和 T 样条线 [3-5] 到目前为止 CAD 两个在程序中取得更大成功的特殊点 (EP) 的样条线。 SubD 在商业软件 Rhinoceros 3D 中可用，T-splines 在商业软件 Autodesk Fusion360 中可用。 Fusion360 和 Rhinoceros 3D 允许每个面都有多个 EP，因此，设计师可以始终使用粗略的控制网络来处理任何几何形状，这是直观有效地改变表面形状所必需的。 SubD 也可用于大多数计算机动画程序（Pixar、Autodesk 3ds Max、Autodesk Maya、Zbrush、Blender 等）。

CAD 表面是许多下游应用的主要输入，如有限元分析 (FEA) 辅助制造计算机 (CAM)。从修剪过的 NURBS 用于传统的表达 FEA 双线四边形网格是一项艰巨的任务。尽管有几种方法可以自动化这个过程 [6-13]，但是可以从任何修剪过的算法中提出算法 NURBS 适用于表示中自动提供 FEA 非失真双线性四边形网格，这仍然是一个悬而未决的问题。因为修剪过 NURBS 几何缺陷(间隙、重叠等。)在表示中经常发现，自动化特别困难。因此，在复杂的工程应用中，从修剪过的 NURBS 过渡到高质量的双线性四边形网格通常是从整个设计到分析周期需要更多人力的任务之一 [14,15]。

在本节中，我们将解释如何构造满足以下属性的每个面具有多个 EP 的双三次 AST 样条曲面：

(1) 混合函数的线性无关；也就是说，混合函数构成了基础。
(2)多项式基函数的统一划分。
(3) 每个基函数都是逐点非负的。
(4) 至少 C 1 处处连续，同时具有有限表示，即不使用 SubD 中的无限递归公式。
(5) 基函数的局部支持。
(6) 局部h-细化能力。
(7) 求解二阶和四阶线性椭圆偏微分方程时，关于网格大小 h 和自由度数平方根的最优收敛速度。

属性 (2) 意味着通过将变换应用于其控制点来获得 AST 样条曲面的仿射变换。属性 (2) 和 (3) 保证 AST 样条曲面满足凸包属性。在本节中，我们假设读者熟悉 NURBS [1,65] 和 Bézier 提取 [66,67]。

T 网格确定 T 样条曲面的不同组件之间的连通性。图 1(a) 显示了一个 T-mesh 的例子。 T 网格顶点在图 1（a）中用圆圈表示。T-mesh 边是连接两个顶点而不穿过任何其他顶点的闭合线段。T 网格面是由没有任何内部顶点或边的边界定的四边区域。请注意，正面可能包括多条边。在图 1(a) 中，边缘和面分别由黑色实线和白色区域表示。一个顶点的化合价，用 µ 表示，是从该顶点发出的边数。 T-junction 是位于面侧内部的顶点。 T-结是化合价为 3 的顶点。T-结在图 1（a）中用蓝色圆圈标记。异常点（EPs）要么是 μ̸= 4 的内部顶点，它们不是 T 形连接点，要么是 μ > 3 的边界顶点。EPs 在图 1（a）中用红色圆圈标记。从 EP 发出的边缘称为辐条边缘。

EP 的 1 环面是与 EP 接触的面。对于 m > 1，EP 的 m 环面都是与 (m-1) 环面接触的所有面，而不是 (m-2) 环面的一部分。 EP 的 m 盘面定义为包含其所有 1-, 2-, 的集合。 . . , m 环面。 EP 的 0 环顶点集仅包含 EP 本身。对于 m > 0，EP 的 m 环顶点包含位于 m 环面上且不属于 (m-1) 环顶点的所有顶点。 EP 的 m 盘顶点是其所有 0-, 1-, 的并集。 . . , m 环顶点。

面延伸是一条封闭的有向线段，它起源于 T 形路口并沿缺失边的方向移动，直到遇到两条正交边。单间面延伸是位于与 T 形接头相邻的面上的面延伸的一部分。边延伸是一条封闭的有向线段，它起源于 T 形路口，并沿与面延伸相反的方向移动，直到遇到一条正交边。 T 形接头延伸由面和边延伸组成。由于 T 形接头延长线是闭合线段，因此 T 形接头延长线可以在其内部或端点处与其他 T 形接头延长线相交。扩展的 T-mesh 是通过将 T-junction 扩展添加到 T-mesh 获得的。图 1(b) 绘制了与图 1(a) 所示的 T 网格相关联的扩展 T 网格。

T-mesh 边界周围的一组 1 层面包含与 T-mesh 边界接触的面。对于 m > 1，围绕 T 网格边界的 m 层面集合都是与 (m-1) 层面接触的面，而不是 (m-2) 层面的一部分。 T-mesh 边界周围的 0 层顶点集包含 T-mesh 边界处的顶点。对于 m > 0，T 网格边界周围的 m 层顶点包含位于 m 层面上但不属于 (m-1) 层顶点的所有顶点。

在这项工作中，当满足以下条件时，T-mesh 是可接受的：

• 没有单湾面扩展细分 EP 的 3 盘面。
• 没有垂直的T 形接头延伸相交。
• 没有 EP 属于 T 网格边界周围的 0 层和 1 层顶点。
• 没有平行于边界的T-junction 属于T-mesh 边界周围的0 层和1 层顶点。

AST 样条是在允许的 T 网格上定义的 T 样条。在之前的作品 [44,45,48] 中，ASTsplines 的子集要求没有 EP 属于任何其他 EP 的 3 磁盘顶点。在本文中，我们删除了这个条件；也就是说，我们甚至允许面内的所有顶点都是 EP。此外，与以前的工作相比，我们还允许 EP 离 T 网格边界更近一层 [44,45,48]。以这种方式扩展 AST 样条的子集极大地增加了使用 AST 样条构建几何的灵活性。

结跨度确定 T 样条曲面的参数化。每个 T 网格边都有一个指定的节点跨度。结跨度是非负实数。节点跨度配置在满足以下条件时有效：

• 每个面的相对两侧的结跨度的总和必须是相同的值。
• 从 T 网格边界发出的所有边都分配有零节点跨度。

图 2（a）中绘制了我们的 T 网格示例的可能结跨度配置。在这项工作中，给定 EP 的辐条边缘将被分配相同的非零节点跨度。

元素 T 网格确定 T 样条曲面的元素，即所有基函数均为 C∞ 的区域。从 T-mesh 面开始，通过如下修改 T-mesh 获得元素 T-mesh 的元素：

由于元素 T 网格的每个元素内的基函数是双三次多项式，因此限制于元素 e 的基函数 N A 可以表示为 16 个双三次张量积伯恩斯坦多项式的线性组合，即，

其中□是父元素域，b j 是第 j 个 Bernstein 多项式，A 是全局基函数索引，a 是局部到元素基函数索引。在[68]之后，我们使用数组 IEN 来建立基函数的局部和全局编号之间的对应关系，即 A = IEN(a, e)。

为了定义基函数，我们将 T-mesh 的面和顶点分类如下：

基函数由元素 T 网格的每个元素中定义的提取算子指定。对于 S1D 和 S1A，规则面内元素的提取算子相同，但对于不规则面和过渡面，则不同。由于我们没有改变我们在常规面中处理 T 形接头的方式，因此我们参考我们之前的工作以获取详细信息。

我们开始只将一个元素与每个面相关联，并将 Bézier 控制点分类为面、边和顶点 Bézier 控制点。如在 [44,45] 中，面贝塞尔控制点最初根据样条控制点定义为

由于基于顶点和基于面的基函数都存在于分析空间中，截断[49,50,69-71]用于恢复单位划分。需要截断的基函数是过渡基函数。由16个c1连续样条mi的线性组合可以得到一个过渡基函数ˆM，如下所示

控制点确定 T 样条曲面的几何形状。控制点与标准有限元中的节点具有相同的作用，但不是插值点。控制点与 S1D 和 S1A 中的每个基函数相关联。从现在开始，S1D 的控制点、S1A 的基于顶点的控制点、S1A 的基于面的控制点以及 S1A 的所有控制点将分别用 P L 、^QV 、~Q F 和 Q B 表示.

S1D的控制点组成一个控制网，与T-mesh具有相同的连通性，移动这些控制点可以直观地修改T-样条曲面。图 13(a) 为图 1(a) 所示的 T 网格绘制了一个可能的控制网络。一旦通过移动 S1D 的控制点达到了令人满意的几何形状，则可以从 S1D⊆ S1A 获得保留几何形状的 S1A 的基函数的一组控制点。这组控制点通过以下方式获得：

AST样条曲面是通过将元素T-mesh的每个元素映射到欧几里得空间中得到的，如下所示

允许每个面有多个 EP 不会改变执行细化的方式。在 [34] 中解释了在常规人脸中执行局部细化的算法。 [45] 中解释了如何在 S1D 中细化不规则和过渡面，而 [48] 中解释了如何在 S1A 中细化不规则和过渡面。请注意，用于 S1A 中不规则和过渡面的细化算法涉及簿记，即 EP 周围的 2k 个不规则面环存在于细化级别 k 中。执行这种类型的簿记是迄今为止已知的获得最佳近似属性的唯一途径，这也是 S1D 和 S1A 的细化算法不同的原因。一旦使用了簿记，某个网格的精度不仅取决于网格大小或自由度的总数，还取决于该网格中已经引入了多少细化级别。换句话说，如何在网格中引入自由度很重要。为了在每个自由度上获得尽可能高的精度，需要用尽可能粗的网格来表示几何形状，然后开始应用具有最佳近似属性的细化算法。为了能够用尽可能粗的网格来表示几何图形，需要允许每个面有多个 EP。

在本节中，我们证明了空间 S1D 和 S1A 的线性独立性和非负统一分割的性质。在 [33,36,72] 中证明了受 T 形连接影响的规则面的线性独立性和非负单位分割。因此，在本节中，我们重点关注受 EP 影响的不规则面和过渡面。为了进行证明，我们将应用拆分然后平滑方法之前的设计和分析空间分别表示为 S0D 和 S0A。在本节的其余部分，S0D、S1D、S0A 和 S1A 的混合函数分别表示为 {N 0L }nL=1、{N 1L }nL=1、{M 0B}nbB=1 和 {M 1B }nbB=1，分别。

当围绕 EP 定义 C 1 连续基函数时，一个困难的挑战是获得具有最佳近似属性的空间 [62,63]。除了在引入足够的细化级别后获得的渐近收敛速度之外，在渐近行为开始之前为第一个细化级别获得的收敛行为也非常重要。在实际应用中，可以应用的细化级别的数量通常非常有限，因此计算时间仍然可行。

在本节中，我们开始使用 T-splines 和商业软件 Autodesk Fusion360 设计汽车的两个结构组件。由于 Fusion360 目前处理 EP 的方式不会导致适合分析的空间，因此 Fusion360 创建的混合功能不应用于结构分析。一种解决方法是从 Fusion360 中导出控制网络，并将这些控制点用作 S1D 的控制点，即将 Fusion360 的控制点与第 2.4 节中描述的 AST 样条的基函数结合起来。我们观察到，对于复杂的几何形状，例如汽车的 B 柱和侧面外板，表面基本保持不变（面积变化低于 0.1%）。该工作流程在图 28 中使用侧面外板的几何形状进行了举例说明。无论如何，这是一种临时的解决方法，直到有 CAD 程序使用 AST 样条从头开始设计曲面。在汽车工程以及许多其他工业应用中，结构部件通常具有大量小特征，例如孔。为了捕捉这些小特征，每张脸经常引入多个 EP，如图 1 和图 2 所示。 28 和 29。为了分离 EP，使所有 EP 按照以前的工作 [44,45,48] 的要求彼此分开四个环，需要两个级别的细化。因此，为了分离 EP，最小的单元尺寸减少了 1/4。在显式动力学中，网格中的最小单元尺寸与最大稳定时间步长之间的关系近似为线性。因此，由于引入了两个级别的局部细化，时间步的总数增加了 4 倍。换句话说，如果 EP 必须像 [44,45,48] 中那样彼此相隔四个环，则需要 1 天才能允许每个面有多个 EP 的大规模模拟需要 4 天。

在 [48] 中，我们使用我们的 AST 样条曲面来执行几何非线性 Kirchhoff-Love 壳模拟。在这里，我们采取了不同的方式。我们在厚度方向上使用三次 B 样条来加厚我们的 AST 样条曲面。结果是对于给定厚度值具有 C 1 全局连续性的 AST 样条体积。 AST 样条体积，与任何其他类型的允许贝塞尔提取的样条一样，可以在商业软件 LS-DYNA 中导入。下面，我们用 LS-DYNA 中的 AST 样条体积解决特征值问题，并将结果与​​基于 LS-DYNA 中可用的三线性六面体网格的各种传统实体离散化结果进行比较。

在汽车应用中，与壳配方相反，用于薄壁结构的固体配方的使用正变得越来越普遍。主要原因之一是 Kirchhoff-Love 壳、Reissner-Mindlin 壳以及在厚度方向上具有更复杂公式的其他类型的壳通常无法准确捕捉薄壁结构的应力三轴性。应力三轴性在预测韧性断裂中起关键作用。因此，经常发现固体配方与碰撞模拟中的实验数据相匹配，明显优于壳配方。这是在这项工作中考虑 AST 样条体积的动机。在本节中，我们使用毫米表示长度，公吨表示质量，秒表示时间。 B柱和侧外板的尺寸与汽车一致。

本例中考虑的几何形状是汽车的 B 柱。边界条件如图 29 所示。在这个问题中使用的参数是

在图 31(a)-© 中，我们绘制了未变形几何形状的前视图，使用 AST 样条和 129,900 自由度的第一个模态形状，以及使用具有八个正交点的三线性六面体元素的第一个模态形状 (ELFORM LS-DYNA 中的 2 个）和 11,995,773 个自由度，分别。如图 31 所示，只要在有限元网格中使用足够的自由度，AST 样条和传统有限元之间的模态形状就可以很好地吻合。

侧外板是本例中考虑的几何形状。边界条件如图 32 所示。在这个问题中使用的参数值是

通过允许每个面有多个 EP，C 1-连续非负双三次 AST 样条的子集得到了显着扩展。换句话说，我们已经消除了在 [44,45,48] 中给出的 EP 必须彼此相距至少四个环的限制，并在数学上证明了保持线性独立性和非负单位分割。对于我们在本文中数值求解的基准问题，当从每个面具有多个 EP 的非常粗糙的网格开始时，从第一个细化级别获得快速单调收敛（未观察到收敛曲线中的振荡）。我们使用 Autodesk Fusion360 的 T 样条功能构建了与汽车侧面外板一样复杂的 CAD 几何图形。然后，我们导出了控制网络并将它们与适合分析的基函数结合起来生成 AST 样条曲面。我们加厚了这些表面以获得 AST 样条体积，并使用 Bézier 提取将它们导入 LS-DYNA。我们已经使用 AST 样条体积和 LS-DYNA 中的常规有限元解决了特征值问题。发现了良好的一致性，并且 AST 样条需要比传统有限元更少的自由度来达到与网格无关的结果。

彻底的频谱分析研究，即用已知的精确解解决几个特征值问题，以比较 AST 样条、NURBS 和传统 FEM 的性能，是作者未来工作的一个重要方向。第一个特征值是执行屈曲分析时相关的特征值。在控制结构的动态响应时，前几个特征值是最重要的。最后一个特征值控制显式动力学中的最大稳定时间步长。因此，考虑到不同应用的不同需求，有动机详细研究整个频谱，即从第一个特征值到最后一个特征值。

A 类曲面是汽车设计行业中使用的术语，用于描述具有美观、非振荡高亮线的样条曲面。由于 D-patch 框架在 Bézier 级别 [46] 的退化配置，D-patch 框架不会导致 A 类表面 [61]。基于施加 G1 约束的 EP 结构通常用于获得 A 类表面 [74-76]。 A 类表面代表外表面的标准，即客户将看到的表面。然而，结构部件，例如汽车的白色车身，是内表面，在这些情况下，具有 A 级表面不是必需的。在任何情况下，提出一个基于施加 G1 约束的 EP 结构，该结构具有最佳逼近特性、线性独立性、单位的非负划分和出色的表面质量，是未来工作的重要方向。

提出增加几何复杂度的基准问题来评估不同 IGA 技术的性能是未来的一项必要任务。这些基准不仅可以比较不同类型的样条与 EP [45,48,50,59,60,77]，还可以与处理修剪 NURBS 表示的非边界拟合方法进行比较 [21-26]。

本文提出了一种基于有理 T 样条基函数将任何非结构化四边形或六面体网格转换为广义 T 样条曲面或实体 T 样条的新方法。我们的转换算法包括两个阶段：拓扑阶段和几何阶段。在拓扑阶段，将输入的四边形或六面体网格作为初始 T 网格。为了构建无间隙 T 样条，为每种类型的节点设计模板并将其应用于输入网格中的元素。在几何阶段，开发了一种有效的表面拟合技术，以提高表面精度并保留清晰的特征。构造的 T 样条曲面和实体 T 样条对输入网格中的每个边界节点进行插值，除了不规则节点周围的局部区域外，其他地方都具有 C 2 连续性。最后，开发了一种贝塞尔提取技术，并研究了构建的 T 样条的线性独立性，以促进基于 T 样条的等几何分析。

为了整合工程设计和分析，提出了等几何分析[4,1]，它以NURBS（非均匀有理B样条）或T样条为基础。在商业有限元分析40年的历史中，随着自动网格生成技术和基于多边形网格的有限元分析技术的发展，积累了大量的多边形网格。例如，图 1a 显示了齿轮组件的非结构化六面体啮合。因此，需要一种将这些多边形网格转换为 T 样条的解决方案，这为工程师提供了将传统双线性四边形曲面网格或三线性六面体网格转换为 T 样条的机会，使用等几何分析对其进行分析，并将结果与​​传统有限元进行比较技术。此外，与多边形网格相比，T-样条表示是一种更紧凑的几何表示方式，具有更好的连续性。

以前将网格转换为样条表示的方法涉及通过确定拓扑和选择参数化来近似数据。在[5,6]中，提出了一种基于周期性全局参数化的从任意拓扑的三角形网格到T样条曲面的转换方法。以拓扑正确和几何意义的方式模拟输入网格的多方体图被用作参数域来构造 T 样条 [14]。

在我们早期的工作中，我们开发了一种算法，用于将任何非结构化四边形网格转换为标准 T 样条，其基函数形成单位分区 [15]。在这种方法中，为了使 T 样条标准，需要插入许多节点。为了减少插入节点的数量，作为后续我们将T-spline定义推广到本文中的有理T-spline。新的有理t样条基函数不仅对标准t样条具有单位划分的性质，而且对半标准和非标准t样条也具有单位划分的性质。对于半标准和非标准 T 样条，基函数不满足基于传统 T 样条定义的单位划分。在这里，我们专注于将任意非结构化四边形或六面体网格转换为有理双三次 T 样条曲面或三次实体 T 样条。转换算法有两个主要阶段：拓扑阶段和几何阶段。我们将输入网格直接作为初始 T 网格，拓扑阶段旨在通过为每种类型的节点设计模板并将其应用于元素，使初始 T 网格无间隙。在几何阶段，开发了一种有效的曲面拟合技术来提高曲面精度。构造的 T 样条对输入网格中的每个边界节点进行插值，除了不规则节点周围的局部区域外，所有地方都具有 C 2 连续性。最后，提取贝塞尔元素并研究构建的 T 样条的线性独立性，以促进等几何分析 [2,10]。

本文的其余部分安排如下。第 2 节回顾 T 样条并定义有理 T 样条。第 3 节详细解释了转换算法。第 4 节讨论了清晰的特征保存和表面拟合。第 5 节描述了一种 Bézier 提取技术，以促进等几何分析并研究 T 样条的线性独立性。第 6 节介绍了结果，第 6 节介绍了结果。 7 得出结论

我们得到了一组即使非标准t样条也能满足单位剖分的基函数，成功地避免了在半标准情况下从t网格结构中判断t样条类型和计算权值的困难。

如图 3 所示，将非结构化四边形或六面体网格转换为 T 样条曲面或实体 T 样条有两个主要阶段：拓扑阶段和几何阶段。我们将输入网格作为初始 T 网格，拓扑阶段旨在通过为每种类型的节点设计模板并将它们应用于元素来使初始 T 网格无间隙。插入额外的节点和边以保留输入网格中的尖锐特征。我们为输入四边形或六面体网格中的每条边分配一个单位节点间隔。在拓扑阶段插入的所有新边都具有零参数边长度或单位参数边长度。结果，构建了一个准均匀 T 网格，其中包含仅具有零或单位节点间隔的边。节点间隔为零的边称为零长度边。在几何阶段，目标是最小化输入网格和输出 T 样条之间的误差。然后根据得到的T-mesh构造一个T-spline曲面或实体T-spline。此外，为了便于等几何分析，提取了贝塞尔元素并研究了线性独立性。以下是以下算法描述中需要的一些定义。

图 5 显示了 2D 中异常节点的三个通用模板。 (a) 是使用 T-NURCCs (Non-Uniform Rational Catmull-Clark Surfaces with T-junctions) [13] 推导出来的，(b) 和 © 是基于 (a) 的两个简化模板，新插入的节点和边更少.基于这些模板，我们为每个四边形单元类型设计了四组模板，见表 1。初始 T 网格中有六种类型的单元，按异常节点的数量分类：无、一、二（相邻或对角线），三个和四个非常节点。下面，我们将讨论如何推导出这四组模板以及哪一组是最优的（插入的节点最少）。

六面体网格包含三种不同类型的节点：常规节点、部分异常节点和异常节点。在这里，我们首先为部分异常和异常节点设计通用模板，然后将它们应用于每种类型的元素。在 3D 中，一个六面体单元有八个节点，每个节点有三种可能的类型。此外，一个部分异常节点具有三个可能的方向。因此，每个节点总共有五种可能性，如果我们像对四边形网格那样对元素进行分类，那么在不考虑对称性和互补性的情况下，将有 5^8=390,625 种元素。因此，不像在 Sect. 中列出每种元素的所有模板。 3.1（表1），这里我们用几个例子来说明如何将通用模板应用于某种元素类型。

图 12a-c 显示了六面体网格中部分异常节点的通用模板。与部分异常节点相邻的洋红色边具有关于该节点的反射边。图 12a-c 分别从图 5a-c 概括而来。与图 5" " b 类似，图 12" " b 中的模板也有两种可能的方向。同样，我们选择引入较少新节点和边的那个。显然，在这三个模板中，图 12c 是最佳选择，因为它的新插入节点数量最少。基本上，我们将图 5 中的 2D 模板应用于与边缘垂直的面，该面具有关于该部分异常节点的反射边缘。毫无疑问，每个节点在 ζ 方向上都有一个唯一的节点向量。我们已经证明几何在 [15] 和引理 1 中的等参数 ξ,η 平面上是无间隙的。换句话说，一个域中任何节点的 N_i^ξ (ξ)N_i^η (η) 具有在共享边界处与其相邻域具有相同的函数值。因此，N_i^ξ (ξ)N_i^η (η)N_i^ζ (ζ) 在两个相邻域的共享边界处也具有相同的函数值，并且在应用图 12a 中的模板后获得的几何是无间隙的-C。

图 13 显示了一个元素具有两个部分异常节点的示例。 节点 A 和 B 是部分异常节点，边 AB 有一个关于 A 的反射边，边 BC 有一个关于 B 的反射边。对于每个部分异常节点，我们将图 12c 中的模板应用于垂直于其相邻边的面 有一个反射边缘。 (b) 中的蓝色虚线边缘是根据前面讨论的 T 样条规则添加的。
图 12d-e 给出了六面体网格中异常节点的两个通用模板，这些模板是从图 5 中推广出来的。图 12d 中的模板只有一个方向，它可以保证获得的 T 网格无间隙，如 遵循引理。
引理 2 对于输入非结构化六面体网格中任何异常节点的局部区域，通过应用图 12d 中的模板获得的 T 网格是无间隙的。

与图 12d 相比，e 是一个简化版本，它是从图 5b 扩展而来的。图 5b 中的 2D 模板具有一个属性：对于一个域 Ω 围绕一个异常节点 O，其他周围域中仅与 Ω 共享节点 O 的节点始终具有以 Ω 为单位的零基函数值。将其扩展到 3D 时，我们希望设计继承此属性的模板。图 12e 就是根据这个原理设计的。基本上，对于某个元素中的一个非同寻常的节点，我们插入一个边都具有零节点间隔的立方体，将立方体沿着一个相邻边延伸到元素边界，并插入一个平行于一个相邻平面的平面。例如，对于图 12e 中的异常节点 A，我们插入一个立方体 AVWU-IJTS，将立方体沿一条相邻边 AD 延伸到元素边界，并插入一个与其相邻面 ABCD 平行的平面 IKPR。与图 12d 相比，该模板有六种可能的变化，通过选择不同的相邻边来扩展立方体和不同的相邻面来插入平行平面。我们总是选择带来最少新插入节点的方向。对于某个元素中的一个异常节点，如果其相邻的三个节点中的一个节点异常或部分异常，则选择包含它的边来扩展立方体。一旦我们确定了扩展立方体的方向，将有两个选项用于沿着共享该边的两个面插入平面。插入立方体后，我们只需要插入两个额外的节点即可形成一个平面。在这里，我们仍然选择插入较少节点的方向。如果它的三个相邻节点都不是异常或部分异常，我们检查面对角节点。如果它的面对角节点之一是异常或部分异常，我们选择包含该节点的面来插入平面。

图 15 给出了一个示例，展示了如何将图 12d-e 中的两个模板应用于具有两个异常节点 A 和 B 的一个元素。（b）显示了将图 12d 中的模板应用于节点 B 后的结果，然后再次对节点 A 使用模板，得到 © 所示的结果。由于我们有一个独特的方向，这个过程非常简单。 (d) 显示了对节点 B 应用图 12e 中的模板后的结果。它是通过首先在 B 周围插入一个立方体，然后沿着其相邻边 AB 扩展立方体来获得的。由于节点 A 非同寻常，我们选择边 AB 在这里延伸。之后，我们有两个选项可供选择，以获得一个相邻面用于插入一个平行平面，正面或底面。在这种情况下，这两个选项最终都会插入两个额外的节点，因此我们可以选择其中一个。此处选择底面并插入平面 CDEF。然后得到(d)所示的结果。同样，由于节点 A 已经有一个平面和一个扩展立方体，我们只需要在它周围插入一个立方体。然后得到(e)中的结果。

图 16 给出了另一个示例，展示了如何将图 12c-e 中的模板应用于具有一个异常节点 B 和一个部分异常节点 C 的一个元素。洋红色边在节点 C 周围有一个反射边。(b) 是之后的结果 将图 12d 中的模板应用于异常节点 B。然后我们将图 12c 中的模板应用于节点 C 得到 ©。 (d) 是对节点 B 应用图 12e 中的模板后的结果。这里我们选择正面插入一个平面，因为节点 C 位于与节点 B 的正面对角线上。(e) 显示应用后的最终结果 图 12c 中节点 C 的模板。

讨论 总之，我们为部分异常节点设计了三个通用模板，为异常节点设计了两个通用模板。在部分异常节点的三个模板中，图 12c 引入了更少的新插入节点。对于特殊节点，我们证明使用图 12d 中的通用模板将产生无间隙实体 T 样条。图 12e 是从图 12" "d 简化而来的，由于它的复杂性，我们不能证明它总能保证无间隙的实体 T 样条，尽管我们的经验表明它确实如此。

在 3D 中，事情要复杂得多，这里我们只讨论与一个部分异常或异常节点相邻的相邻域的连续性。在图 12a-c 中，每个域定义的补丁与共享底面的非零域定义的补丁是 C^2-连续的，并且与共享域定义的补丁是 C^0-连续的正面或右脸。在图 12d-e 中，每个域定义的补丁是 C^0 连续的，所有非零域定义的补丁与它共享一个面。

对于 T 样条曲面，如何保留尖锐特征在 [15] 中进行了描述。主要思想是使用重复结将局部边界表面连续性降低到C 0，并在锐边和锐角周围插入零长度边以保留这些锐利特征。

对于实体 T 样条，本文中的输入六面体网格是使用基于八叉树的等高线算法和枕形技术 [9] 生成的。 Pillowing 是一种细化网格边界的片材插入方法。枕式后，每个元素最多有一个面位于边界上。对于每个边界元素，我们首先插入一个平行于边界面的面，并且连接它们的边的节点间隔为零。这样，只有边界节点在实体 T 样条边界上具有非零基函数值。例如在图 17 中，粉红色的面是边界面，两个面 G H K L 和 H I J K 是新插入的面。边界面和插入面之间以红色显示的边的节点间隔为零。

在表面拟合步骤中，我们的目标是重新定位 T 网格节点，以便输出 T 样条插值输入网格中的所有边界节点。这里给出的 2D 表面拟合算法与 [15] 中给出的方法相同。我们利用 T 样条的局部特性，对每个 Bézier 元素进行拟合，对相应四边形元素的四个节点进行插值。对于T样条的每个非零域，我们将来自输入网格边界且参数坐标对应域四个角的四个节点的位置设置为未知变量并固定所有其他节点。然后我们使用插值条件来计算未知变量的新位置。之后，T-mesh 中与未知变量具有相同参数位置的所有节点都被更新。我们遍历每个非零域并迭代，直到插值误差低于给定的容差。

我们使用表 1 中的模板集 4，并将转换算法应用于几个非结构化四边形网格（图 19、20、21、22、23）。如果输入网格包含很少的异常节点，例如图 19，则输出 T 样条曲面将非常平滑。我们还将我们的转换算法应用于一个雕像模型的六面体网格和几个具有尖锐特征的 CAD 装配模型（图 24,1,25,26）。对于这些 3D 六面体网格，图 12c、d 中的模板分别用于部分异常节点和异常节点。很明显，构建的实体 T 样条保留了输入模型中的所有尖锐特征。在无花果。在图 1、25 和 26 中，不同的颜色代表装配模型的不同组件。这些组件在输出实体 T 样条中具有保形边界。转换算法是高效的，所有结果都是在配备 Intel Q6600（4 核，2.4GHz）处理器和 4GB 主内存（DDR2，800MHz）的 PC 上计算的。

我们开发了一种新的算法，用于将任何非结构化四边形或六面体网格分别转换为 T 样条曲面或实体 T 样条。 T-样条定义是基于有理T-样条基函数的，具有单位性质的划分。转换算法有两个主要阶段：拓扑阶段和几何阶段。在拓扑阶段，我们为每种类型的节点和元素设计模板，以获得无间隙的 T 样条。在此阶段会自动保留清晰的特征。在几何阶段，开发了一种有效的曲面拟合技术来提高曲面精度。作为未来工作的一部分，我们计划直接从 T 网格配置研究线性独立性，并直接从 NURBS 边界表示构建实体 T 样条。

在本文中，我们介绍了两个软件包，HexGen 和 Hex2Spline，它们将几何设计与 LSDYNA 中的等几何分析 (IGA) 无缝集成。给定实体模型的边界表示，HexGen 通过利用半自动基于多立方体的网格生成方法创建六面体网格。 Hex2Spline 将 HexGen 的输出六面体网格作为输入控制网格，并构造体积截断的层次样条。通过 Bézier 提取，Hex2Spline 将样条信息传输到 LS-DYNA 并在其中执行 IGA。我们解释了每个软件包中的底层算法，并使用棒模型来解释如何运行软件。我们还将我们的软件应用于其他几个复杂模型，以测试其稳健性。我们的目标是提供一个强大的体积建模工具，从而将 IGA 的边界扩展到基于体积的工业应用。

等几何分析 (IGA) [18] 是一种将计算机辅助设计 (CAD) 与诸如有限元分析 (FEA) 等模拟方法相结合的计算技术。它采用通过分析设计的思想，可以直接分析设计的几何形状。与传统 FEA 相比，IGA 具有许多优点，例如精确、平滑的几何表示和卓越的数值性能。已经为IGA开发了许多软件包，主要有两个方向。第一个方向是将IGA与商业有限元软件结合起来。例如，Abaqus 中的用户子程序 UEL 用于定义 IGA 元素并在 Abaqus [20, 21] 中执行 IGA。第二个方向是开发开放的软件包。 GeoPDEs [7] 和 igatools [27] 在 NURBS（非均匀有理 B 样条）补丁上工作，并提供了实现 IGA 方法的通用框架。 PetIGA [6] 是另一个基于 PETSc [3] 的 IGA 框架。这些软件包有助于促进 IGA 在工程应用中的使用。但是，这些包是面向分析的。目前，几何建模方面没有可用的工具包，特别是对于体积参数化。因此，我们工作的动机是开发一种几何建模工具来弥合几何设计和 IGA 分析之间的差距。

体积参数化有两个主要挑战，控制网格生成和体积样条构造。控制网格通常是非结构化六面体 (hex) 网格。文献 [42] 提出了各种策略来生成非结构化六角网格，例如基于网格或八叉树的 [32, 33]、内表面 [29, 28]、抹灰 [4, 36]、晶须编织 [ 10]和基于矢量场的方法[26]。这些方法已经为某些几何形状创建了六角网格，但对于任意几何形状并不稳健和可靠。基于 polycube 的方法 [37, 14] 是另一种吸引人的全六角网格划分方法。平滑谐波场 [39] 用于生成任意属几何形状的多方体。引入了布尔运算[23]来处理任意属的几何形状。在[24]中，多立方体结构是基于几何模型的骨架分支生成的。对于这些方法，六角网格质量直接受到多立方体结构和映射失真的影响。用低失真映射计算多立方体结构对于任意几何形状仍然是一个悬而未决的问题。通过使用枕形、平滑和优化等方法来提高网格质量以进行分析至关重要 [31、43、44、30]。 Pillowing 是一种片材插入技术，可消除两个相邻六角元素共享多个面的情况。平滑和优化用于通过重新定位顶点来进一步提高网格质量。在我们的软件中，我们实施了上述所有质量改进方法。

体积参数化的第二个要素是体积样条构造。已经开发了几种算法。 IGA 的最初开发基于 NURBS。由于采用全局张量积结构，不支持局部细化。 T 样条最初是为了支持表面的局部细化而​​开发的 [35, 34]。对于实体模型，有理 T 样条基函数用于将非结构化六角网格转换为实体 T 样条 [40]。

在本文中，我们将基于半自动多立方体的网格生成与体积截断层次样条构造（TH-spline3D）[41] 相结合，以在 LS-DYNA 中的体积模型上执行 IGA。开发的软件包具有： 1) 从 CAD 模型半自动基于 polycube 的全六角网格生成； 2) 六角网格上的 TH-spline3D 构造； 3) LS-DYNA 的贝塞尔提取。我们首先概述了整个流水线，并解释了流水线每个模块背后的算法。然后我们提供各种示例来解释如何运行软件包。该软件包的主要目标是让对实际工程应用感兴趣的工业和学术界能够访问我们的管道。我们的软件更注重多功能性而不是效率。我们将使用一个具体的示例来完成运行该软件的所有步骤。特别是，当需要用户干预时，我们将解释所涉及的手动工作的细节。

本文概述如下。在第 2 节中，我们概述了管道。在第 3 节中，我们介绍了 HexGen 软件包，该软件包可以从 CAD 文件中进行半自动基于多方体的全六角网格生成。在第 4 节中，我们讨论了 Hex2Spline，它在六边形网格上构造 TH-spline3D，并在 LS-DYNA 中为 IGA 执行 Bézier 提取。最后，在第 5 节中，我们使用我们的软件包演示了几个复杂的模型。

我们的管道包含两个软件包来弥合输入 CAD 模型与 LS-DYNA 中的 IGA 之间的差距，如图 1 所示。我们首先使用 HexGen 软件包为 CAD 模型构建全六角网格。生成高质量的全六角网格后，我们使用 Hex2Spline 软件包构建 TH-spline3D 并为 LS-DYNA 提取贝塞尔信息。

如图 1 所示，我们首先使用免费软件 LS-PrePost 从 CAD 模型生成三角形网格，LS-PrePost 是 LS-DYNA 的前处理器和后处理器。然后我们使用质心 Voronoi 细分 (CVT) 分割 [17] 创建多立方体结构 [37]，该结构用于通过参数映射 [9] 和八叉树细分 [44] 生成全十六进制网格。评估全六角网格的质量，以确保生成的体积样条模型可用于 IGA。如果生成质量较差的六边形网格，该程序有几个质量改进功能，包括枕形[43]、平滑和优化[30]。每个质量改进功能都可以独立运行，并且可以使用这些功能来提高网格质量。

一旦获得了高质量的六边形网格，就可以运行 Hex2Spline 程序来构建体积样条。特别是，TH-spline3D 是建立在非结构化六边形网格上的，它还支持局部细化。 Hex2Spline 可以输出 TH-spline3D 的 Bézier 提取信息，格式可以导入 LSDYNA 进行 IGA。目前，我们的软件只有命令行界面（CLI）。用户需要通过命令行指定必要的选项来运行软件。在第 3 节和第 4 节中，我们将详细解释每个软件中实现的算法以及如何运行该软件。

在HexGen软件包中，将曲面分割、聚立方体构造、参数映射和八叉树细分结合起来构造全十六进制;在HexGen软件包中，将聚立方体构造、参数映射和八叉树细分结合起来构造全十六进制。给定从 CAD 模型生成的三角形网格，我们首先使用曲面分割将网格划分为满足多立方体结构约束的多个曲面片，这将在 3.1 节中讨论。然后，从曲面分割结果中提取每个曲面片的角顶点、边和人脸信息，构建多立方体结构。 polycube 结构的每个组件在拓扑上都等效于一个立方体。最后，我们通过参数映射和八叉树细分生成全十六进制网格。质量改进技术可用于进一步改进网格质量。

本节介绍HexGen软件包各模块的主要算法，即曲面分割、多方体构建、参数映射和八叉树细分、质量改进。我们使用棒模型（见图 1）来解释如何为每个模块运行 CLI。我们还讨论了半自动基于多立方体的六角网格生成中涉及的用户干预。

管道框架中的表面分割是基于 CVT 分割实现的[17]。 CVT 分割用于通过最小化能量函数将顶点分类为不同的组。每个组称为 Voronoi 区域 {푉푗 }，并且它有一个相应的中心，称为生成器 {푔푗 }。 Voronoi 区域及其对应的生成器在最小化过程中迭代更新。在[17]中，表面三角形网格的每个元素被分配到六个Voronoi区域之一{푉푗}6 푗=1基于表面的法线向量휘T（푖），其中T（푖）是푖푡 ℎ 表面三角形网格 T 的元素。 Voronoi 区域的初始生成器是三个主法线向量及其相反的法线向量（±푋、±푌、±푍）。 [17] 中同时使用了两个能量函数及其对应的距离函数。经典能量函数及其对应的距离函数提供了初始 Voronoi 区域和生成器。然后应用谐波边界增强（HBE）能量函数及其对应的距离函数来消除非单调边界。能量函数的详细定义及其相应的距离函数在[17]中进行了描述。

在本节中，我们将讨论使用分段三角形网格构建多立方体的详细算法。由多个立方体组成的多立方体在拓扑上等价于原始几何。文献 [16, 22, 17] 中提出了几种自动多立方体构建算法，但将这些方法推广到通用 CAD 模型具有挑战性。为了实现实际工业应用的多功能性，我们开发了基于分段曲面的半自动多立方体构建软件。但是，对于一些复杂的几何形状，由于潜在的大量用户干预，它可能会减慢该过程。

多立方体构造完成后，我们需要在输入三角形网格和多立方体结构的边界面之间建立一个bijective mapping。

如果六角网格的质量不能令人满意，则需要对六角网格进行质量改进。我们在软件包中集成了三种质量改进技术，即枕形、平滑和优化。用户可以在构建体积样条之前通过命令行选项提高网格质量。

将生成的六边形网格作为输入控制网格，现在我们展示 Hex2Spline 软件包来构建 TH-spline3D。 TH-spline3D 可以在任意非结构化六角网格上定义样条函数。它进一步支持自适应 IGA 的局部细化。 Hex2Spline 可以输出构造的体积样条的贝塞尔信息，可以很容易地用于 LS-DYNA 或任何其他现有的 IGA 框架。下面，我们介绍 Hex2Spline 软件包每个组件的主要算法，包括非结构化六边形网格上的混合函数、局部细化的 TH-spline3D 和贝塞尔提取。

在本节中，我们将描述如何在全十六进制网格上构建混合函数。 Hex2Spline 支持任意非结构化全六角网格。在下文中，我们将Ω푒表示为由푒索引的十六进制元素。六边形网格中的单元分为三种类型：边界单元、内部规则单元和内部不规则单元。如果该元素包含边界顶点，则该元素被定义为边界元素；否则，它是一个内部元素。对于内部元素，如果它包含非常规边1，我们称其为不规则元素；否则，它是一个常规元素。下面，我们讨论在边界元素和内部不规则元素上构建混合函数的主要算法。规则内部元素是不规则内部元素的特例，其混合函数只是三次三次 B 样条。请注意，以下构造仅适用于具有均匀节点间隔的三次三次样条（即，每个边的节点间隔相同）。

下一步是引入局部细化以实现计算效率和准确性。 TH-spline3D 采用层次结构并使用截断机制来执行局部细化。全局细化也得到支持，因为它是局部细化的一种特殊情况，它由 Catmull-Clark 实体细分 [2, 5] 完成。

在基于 Bernstein 多项式定义混合函数后，构建的体积样条的 Bézier 信息可以写入 LS-DYNA 的 BEXTfile。该程序还将输出用于在 Paraview [1] 中可视化贝塞尔网格的文件。 BEXTfile 包含所有控制点和每个 Bézier 元素的 Bézier 提取矩阵 M푇。我们通过使用稀疏和密集格式来编写 M푇 来减小文件大小。矩阵逐行输出。在稀疏格式中，仅输出行的非零值，其中索引与每个非零系数配对以指示其在矩阵中的列位置。另一方面，整行以密集格式输出，没有额外的列索引。两种格式的选择取决于一行中非零的数量。当行只有几个非零时，首选稀疏格式。 BEXT 格式文件的片段显示在附录 A6 中。

基于上述算法，我们将代码实现并组织成一个 CLI 程序（Hex2Spline.exe），该程序可以在非结构化六角网格上构造 TH-spline3D 并提取贝塞尔信息进行分析。

第 3 节和第 4 节中讨论的算法是用 C++ 实现的。 Eigen 库 [15] 和 Intel MKL [19] 用于矩阵和向量运算以及数值线性代数。我们还利用 openMP 来支持多线程计算。我们使用独立于编译器的构建系统 (CMake) 和版本控制系统 (Git) 来支持软件开发。我们将源代码编译成两个软件包，

在本文中，我们为 LS-DYNA 中的 IGA 应用程序提供了两个软件包（HexGen 和 Hex2Spline）。 HexGen 和 Hex2Spline 的主要目标是让对实际工程应用感兴趣的工业和学术界能够访问我们的管道。全六角网格生成程序 (HexGen) 可以生成全六角网格。它由四个可执行文件组成，分别是分割模块（Segmentation.exe）、多边形构建模块（Polycube.exe）、全十六进制网格生成模块（ParametricMapping.exe）和质量改进模块（Quality.exe）。体积样条构造程序（Hex2Spline.exe）是基于[41]中的样条构造方法开发的。用户可以在给定任何非结构化六角网格的情况下生成体积样条模型，并输出 BEXTfile 以在 LS-DYNA 中执行 IGA。这两个程序都编译成可执行文件，可以在平台的命令提示符（cmd）中轻松运行。杆模型用于详细说明如何使用这两个程序。我们还使用其他几个模型测试了我们的软件包。

总之，我们整合了我们的六角网格生成和体积样条构造技术，并开发了一个软件平台来为 LS-DYNA 创建 IGA 模型。我们的软件也有一些限制，我们将在未来的工作中解决这些限制。首先，六角网格生成模块是半自动的，需要用户干预才能创建多立方体结构。我们将改进底层算法并使多维数据集的构建更加自动化。