坐标变换的艺术—PMSM高频注入法公式推导
时间：2022-08-25 12:00:00
坐标变换艺术-高频注入法公式推导
PMSM一般来说，无位置传感器技术可以分为两部分。第一部分知道位置误差信号，然后输入位置观测器进行处理，使位置信号收敛，第二部分是极性判断。本文重点介绍了在第一部分获取位置误差信号。对于后续的观测器、极性判断和其他感应电机的无速度传感器技术，将在文章末尾提供学习信息。
PMSM高频模型的起源
PMSM旋转轴系的电压为
[ u d u q ] = R [ i d i q ] d d t [ ψ d ψ q ] ω e [ ? ψ q ψ d ] (1) \tag{1} \left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =R\left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} \psi _d\\ \psi _q\\ \end{array} \right] \omega _e\left[ \begin{array}{c} -\psi _q\\ \psi _d\\ \end{array} \right] [uduq]=R[idiq]+dtd[ψdψq]+ωe[−ψqψd](1)
在零低速工况，基于一些假设，公式 ( 1 ) (1) (1)被进一步简化，习惯将简化后的方程称之为高频模型。通常，电机的电路模型视为R-L电路，控制回路中注入高频信号，此时电路中占据主导地位的是电感项，又因为电机运行于零低速，因此旋转电压方程中的第一项和第三项可忽略，则PMSM的高频电压模型为
[ u d h u q h ] = d d t [ ψ d ψ q ] = [ L d 0 0 L q ] d d t [ i d h i q h ] (2) \tag{2} \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} \psi _d\\ \psi _q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_q\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] [udhuqh]=dtd[ψdψq]=[Ld00Lq]dtd[idhiqh](2)
高频电压模型是高频注入法的核心所在，由此衍生出了旋转高频注入法、脉振高频注入法（脉振正弦和脉振方波）。
公式推导
为了便于公式推导，将式 ( 2 ) (2) (2)转换成电流微分表达式，可得：
d d t [ i d h i q h ] = [ 1 L d 0 0 1 L q ] [ u d h u q h ] (3) \tag{3} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac{1}{L_d}& 0\\ 0& \frac{1}{L_q}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] dtd[idhiqh]=[Ld100Lq1][udhuqh](3)
所有的高频方波注入法遵循坐标变换理论，各坐标系间的关系如下图所示，
估计轴系至旋转轴系的坐标变换矩阵满足
P γ δ / d q = [ cos θ ~ sin θ ~ − sin θ ~ cos θ ~ ] (4) \tag{4} P_{\gamma \delta /dq}=\left[ \begin{matrix} \cos \tilde{\theta}& \sin \tilde{\theta}\\ -\sin \tilde{\theta}& \cos \tilde{\theta}\\ \end{matrix} \right] Pγδ/dq=[cosθ~−sinθ~sinθ~cosθ~](4)
静止轴系至旋转轴系的坐标变换矩阵满足
P α β / d q = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] (5) \tag{5} P_{\alpha \beta /dq}=\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] Pαβ/dq=[cosθe−sinθesinθecosθe](5)
上述 ( 4 ) (4) (4)、 ( 5 ) (5) (5)是单位正交矩阵，满足
P − 1 = P T (6) \tag{6} P^{-1}=P^T P−1=PT(6)
为了读者更好的理解下文各高频注入法的公式推导过程，现将各方法的信号注入、响应信号提取轴系罗列成表，作为推导线索。
| 算法名称 | 高频电压信号注入轴系 | 高频电流提取轴系 |
|---|---|---|
| 旋转高频注入法 | 两相静止轴系 | 两相静止轴系 |
| 脉振高频正弦注入法 | 估计轴系 | 估计轴系 |
| 脉振高频方波注入法 | 估计轴系 | 静止轴系 |
旋转高频注入法
旋转高频注入法在静止轴系完成信号注入、响应信号提取过程，依据坐标变换理论，可得：
[ i d h i q h ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ i α i β ] (7) \tag{7} \left[ \begin{array}{c} i_{dh}\\ i_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] [idhiqh]=[cosθe−sinθesinθecosθe][iαiβ](7)
[ u d h u q h ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ u α u β ] (8) \tag{8} \left[ \begin{array}{c} u_{dh}\\ u_{qh}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\s
