差分约束系统

差分拘束体系

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暂时，差分拘束体系在今世的运用堪称是越来越广大，差分拘束体系是值得咱们佳佳进修的。当前咱们便深刻领会差分拘束体系，期望本文能闭于诸位读者有比拟大的参照价格。 差分拘束体系（system of difference constraints），是求解闭于一组变量的特别没有等式组之方式。假如一个体系由n个变量和m个拘束前提构成，个中每个拘束前提形如：xj-xi<=bk（i,j∈[1,n],k∈[1,m]）。 假如一个体系由n个变量和m个拘束前提构成，个中每个拘束前提形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分拘束体系(system of difference constraints)。亦即，差分拘束体系是求解闭于一组变量的特别没有等式组的方式。

差分拘束体系解法

差分拘束体系

求解差分拘束体系，不妨转移成图论的单源最长路途问题。考察xj-xi<=bk，会创造它相似最短路中的三角没有等式d[v] <=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，闭于于拘束前提xj-xi<=bk，对交一条边（i,j），边权为bk。再减少一个本点（s,s）与一切定点贯串，边权均为0。闭于这个图以s为本点运转Bellman-ford算法（或者SPFA算法），最后{d[i]}即为一组可行解。

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比方，斟酌如许一个问题，寻觅一个5维向量x=(xi)以满脚： 　　这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满脚下列8个差分拘束前提：x1-x2≤0 　　x1-x5≤-1 　　x2-x5≤1 　　x3-x1≤5 　　x4-x1≤4 　　x4-x3≤-1 　　x5-x3≤-3 　　x5-x4≤-3 　　该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有通联的：y中的每个元素比x中相映的元素大 5。 　　引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分拘束体系Ax≤b的一个解，d为任性常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该体系 Ax≤b的一个解。 　　bellman-ford算法伪代码： 　　for each v ?V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0 　　Relaxation 　　for i =1,...,|V|-1 do 　　for each edge (u,v) 属于 E do 　　d[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)} 　　Negative cycle checking 　　for each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution。

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假如一个体系由n个变量和m个拘束前提构成，个中每个拘束前提形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分拘束体系(system of difference constraints)。亦即，差分拘束体系是求解闭于一组变量的特别没有等式组的方式。

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差分拘束体系

综上所述，本文已为道授差分拘束体系，信赖大师闭于差分拘束体系的熟悉越来越深刻，期望本文能闭于诸位读者有比拟大的参照价格。

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